Задача 13 (С 1). Показательные и логарифмические уравнения.

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a  0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Приведем основные свойства логарифма.

P1. Основное логарифмическое тождество:

где a  0, a ≠ 1 и b  0.

P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂       (a  0, a ≠ 1, N₁  0, N₂  0).

Замечание. Если N₁·N₂  0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂|       (a  0, a ≠ 1, N₁·N₂  0).

P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

       (a  0, a ≠ 1, N₁  0, N₂  0).

Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂  0) тогда свойство P3 примет вид

       (a  0, a ≠ 1, N₁N₂  0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N ^k = k log_a N         (a  0, a ≠ 1, N  0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то

log_a N ^2s = 2s log_a |N|       (a  0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

       (a  0, a ≠ 1, b  0, b ≠ 1, N  0),

в частности, если N = b, получим

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a  1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x₁ x₂  log_a x_1 ax₂), а при 0 a x₁ x₂   log_a x₁  log_a x₂).

4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1     (a  0, a ≠ 1).

5. Если a  1, то логарифмическая функция отрицательна при x  (0;1) и положительна при x  (1;+), а если 0 a x  (0;1) и отрицательна при x  (1;+).

6. Если a  1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a  (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x)     (a  0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x)   и   log_a f(x) = log_a g(x)

или

log_a [f(x)·g(x)] = b   и   log_a f(x) + log_a g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Задачи:

1.  Решить уравнения:

a) log₂ x = 3,       b) log₃ x = -1,       c) 

1.  Решить уравнения

   a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,	c) log(x - 2)9 = 2,
   b)	d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.

2. Решить уравнения

   a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

   b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2

   c) log2x + log3x = 1,

   d) 2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0,

3.  Решить уравнения

   a) lg2x - 3lgx + 2 = 0,	c) lg2100x + lg210x + lgx = 14,
   b) ,	d) 5lgx = 50 - xlg5.

4. Решить уравнения

1. Решить уравнения

1. Решите уравнение:  = 100.

2. Решите уравнение: .

3. Решить уравнение:

4. Решите уравнение: .

На перерыв. 

а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

2