Файл к занятию 19
Задание 1. Некоторая компания продает свою продукцию по цене p=400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=200 руб., постоянные расходы предприятия f=500000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 1 000 000 руб. Ответ: 7500
Задание 2. Зависимость объeма спроса q(единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой q=100-10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=qp. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. Ответ: 6.
Дополнительно. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=130−10p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=pq. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 420 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. Ответ: 7
Задание 3. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где R=6400 км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 16 километров? Ответ выразите в метрах. Ответ: 20
Задание 4. Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние
от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное
в километрах, вычисляется по формуле ,где R= 6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 64 километра? Ответ дайте в метрах. Ответ: 64
Задание 5. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где R=6400 км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 32 километра? Ответ выразите в километрах. Ответ: 0,08
Задание 6. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,6+12t−5 t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8 метров? Ответ: 0,8.
Задача 7.Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=2+12 t−5 t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров? Ответ: 1,6
Задание 8. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=a t2+b t+H0, где H0=3 м — начальный уровень воды, a=1/768 м/мин 2 и b=− 1/8 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. Ответ: 48.
Дополнительно. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=a t2+b t+H0, где H0=3 м — начальный уровень воды, a=1/588 м/мин 2 и b=− 1/7 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. Ответ: 42
Задание 9. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t)=T0+bt+at2 , где t — время в минутах, Т0=1280 К, а= -10 К/мин2, b= 120К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах. Ответ: 4
Задание 10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально: T=T0+b t+a t2, где t — время в минутах, T0=1450 К, a=− 30 К/мин 2, b=180 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор? Ответ: 1
Задание 11. Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле t=2v0sinα/g. При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полёта будет не меньше 3,2 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v0=32 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с2. Ответ: 30
Задание 12. Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой H= , где v0 =8 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с2). При каком наименьшем значении угла α (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 0,6 м на расстоянии 1 м? Ответ: 45.
Задание 13. При сближении источника и приемника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f0=130 Гц и определяется следующим выражением: f=f0 (Гц), где c — скорость распространения сигнал а в среде (в м/с), а u=16 м/с и v=15 м/с — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 135 Гц? Ответ: 821.
Задание 14. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f0=170 Гц и определяется следующим выражением: : f=f0 (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=12 м/с и v=6 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 180 Гц?
Задание 15. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 713 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле v=c⋅, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с.
Задание 16. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле v=c⋅, где с =1500 м /с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц,
если скорость погружения батискафа равна 18 м/с.
Задание 17. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m = m0 где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг. Ответ: 15
Задание 18. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=45 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 до 70 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение.
Поскольку f=45 имеем:
.
Из равенства видно, что наименьшему возможному значению d1 соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность в правой части равенства достигает наибольшего значения при неизменном уменьшаемом и наименьшем значении вычитаемого . Оно достигается при наибольшем возможном значении знаменателя d2. Поэтому d2=180,
откуда . Значит, d1=60 см
По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 50 до 70 см от линзы. Найденное значение 60 см удовлетворяет условию. Ответ: 60.
Задание 19. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=50 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 60 до 80 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 175 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение.
Так как f=50, то имеем:
.
Из равенства видно, что наименьшему возможному значению d1 соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность в правой части равенства достигает наибольшего значения при неизменном уменьшаемом и наименьшем значении вычитаемого . Оно достигается при наибольшем возможном значении знаменателя d2. Поэтому d2=175,
откуда . Значит, d1=70 см
По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 60 до 80 см от линзы. Найденное значение 70 см удовлетворяет условию. Ответ: 70.
Задание 20. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением p1 =p2, где p1 и p2 — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, V1 и V2 — объём газа (в литрах)
в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 243,2 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах. Ответ: 7,6