Задача 10.

Файл к занятию 19

Задание 1. Не­ко­то­рая ком­па­ния про­да­ет свою про­дук­цию по цене p=400 руб. за еди­ни­цу, пе­ре­мен­ные за­тра­ты на про­из­вод­ство одной еди­ни­цы про­дук­ции со­став­ля­ют v=200 руб., по­сто­ян­ные рас­хо­ды пред­при­я­тия f=500000 руб. в месяц. Ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия (в руб­лях) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Опре­де­ли­те наи­мень­ший ме­сяч­ный объeм про­из­вод­ства q (еди­ниц про­дук­ции), при ко­то­ром ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия будет не мень­ше 1 000 000 руб. Ответ: 7500

Задание 2. За­ви­си­мость объeма спро­са  q(еди­ниц в месяц) на про­дук­цию пред­при­я­тия – мо­но­по­ли­ста от цены p (тыс. руб.) задаeтся фор­му­лой q=100-10p. Вы­руч­ка пред­при­я­тия за месяц r (в тыс. руб.) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле r(p)=qp. Опре­де­ли­те наи­боль­шую цену p, при ко­то­рой ме­сяч­ная вы­руч­ка r(p) со­ста­вит 240 тыс. руб. Ответ при­ве­ди­те в тыс. руб. Ответ: 6.

Дополнительно. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=130−10p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=pq. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 420 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. Ответ: 7

Задание 3. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на не­боль­шой вы­со­те h м над землeй, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где  R=6400 км — ра­ди­ус Земли. На какой наи­мень­шей вы­со­те сле­ду­ет рас­по­ла­гать­ся на­блю­да­те­лю, чтобы он видел го­ри­зонт на рас­сто­я­нии не менее 16 ки­ло­мет­ров? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах. Ответ: 20

Задание 4. Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние 
от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное 
в километрах, вычисляется по формуле  ,где R= 6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 64 километра? Ответ дайте в метрах. Ответ: 64

Задание 5. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на не­боль­шой вы­со­те h ки­ло­мет­ров над землёй, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  , где R=6400 км — ра­ди­ус Земли. С какой вы­со­ты го­ри­зонт виден на рас­сто­я­нии 32 ки­ло­мет­ра? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах. Ответ: 0,08

Задание 6. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,6+12t−5 t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8 метров? Ответ: 0,8.

Задача 7.Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=2+12 t−5 t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров? Ответ: 1,6

Задание 8. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=a t²+b t+H₀, где H₀=3 м — начальный уровень воды, a=1/768 м/мин ² и b=− 1/8 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. Ответ: 48.

Дополнительно. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=a t²+b t+H₀, где H₀=3 м — начальный уровень воды, a=1/588 м/мин ² и b=− 1/7 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. Ответ: 42

Задание 9. За­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Кель­ви­на) от вре­ме­ни для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра была по­лу­че­на экс­пе­ри­мен­таль­но и на ис­сле­ду­е­мом ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем T(t)=T₀+bt+at² , где t — время в ми­ну­тах, Т₀=1280 К, а= -10  К/мин²,  b= 120К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля свыше 1600 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чать. Опре­де­ли­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чать при­бор. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах. Ответ: 4

Задание 10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально: T=T​₀+b t+a t², где t — время в минутах, T₀=1450 К, a=− 30 К/мин ², b=180 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор? Ответ: 1

Задание 11. Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле t=2v₀sinα/g. При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полёта будет не меньше 3,2 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v₀=32 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с². Ответ: 30

Задание 12. Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом α к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Мак­си­маль­ная вы­со­та полeта мя­чи­ка, вы­ра­жен­ная в мет­рах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой H=  , где v₀ =8 м/с — на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а g — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те g=10 м/с²). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла α (в гра­ду­сах) мячик про­ле­тит над сте­ной вы­со­той 0,6 м на рас­сто­я­нии 1 м? Ответ: 45.

Задание 13. При сбли­же­нии ис­точ­ни­ка и при­ем­ни­ка зву­ко­вых сиг­на­лов дви­жу­щих­ся в не­ко­то­рой среде по пря­мой нав­стре­чу друг другу ча­сто­та зву­ко­во­го сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мо­го приeмни­ком, не сов­па­да­ет с ча­сто­той ис­ход­но­го сиг­на­ла  f₀=130 Гц и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем: f=f₀  (Гц), где c — ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­л а в среде (в м/с), а u=16 м/с и v=15 м/с — ско­ро­сти приeмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но. При какой мак­си­маль­ной ско­ро­сти c (в м/с) рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде ча­сто­та сиг­на­ла в приeмнике f будет не менее 135 Гц? Ответ: 821.

Задание 14. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f0=170 Гц и определяется следующим выражением: :  f=f0 (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=12 м/с и v=6 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 180 Гц?

Задание 15. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 713 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле v=c⋅, где c=1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов (в МГц), f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 12 м/с.

Задание 16. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 494 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле v=c⋅, где с =1500 м /​с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, 
если скорость погружения батискафа равна 18 м/с.

Задание 17. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m = m₀  где m₀ — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг. Ответ: 15

Задание 18. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=45 см. Расстояние d₁  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 до 70 см, а расстояние d₂  от линзы до экрана — в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку f=45 имеем:

.

Из равенства видно, что наи­мень­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию d₁  со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние левой части по­лу­чен­но­го ра­вен­ства, и, со­от­вет­ствен­но, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние пра­вой части ра­вен­ства. Раз­ность  в пра­вой части ра­вен­ства до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния при неизменном уменьшаемом и наи­мень­шем зна­че­нии вы­чи­та­е­мо­го  . Оно до­сти­га­ет­ся при наи­боль­шем воз­мож­ном зна­че­нии зна­ме­на­те­ля d₂. По­это­му d₂=180,

от­ку­да . Значит, d₁=60 см

По усло­вию лам­поч­ка долж­на на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии от 50 до 70 см от линзы. Най­ден­ное зна­че­ние 60 см удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. Ответ: 60.

Задание 19. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем f=50 см. Рас­сто­я­ние d₁  от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 60 до 80 см, а рас­сто­я­ние d₂ от линзы до экра­на — в пре­де­лах от 150 до 175 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние. Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Так как  f=50, то  имеем:

.

Из равенства видно, что наи­мень­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию d₁  со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние левой части по­лу­чен­но­го ра­вен­ства, и, со­от­вет­ствен­но, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние пра­вой части ра­вен­ства. Раз­ность  в пра­вой части ра­вен­ства до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния при неизменном уменьшаемом и наи­мень­шем зна­че­нии вы­чи­та­е­мо­го  . Оно до­сти­га­ет­ся при наи­боль­шем воз­мож­ном зна­че­нии зна­ме­на­те­ля d₂. По­это­му d₂=175,

от­ку­да . Значит, d₁=70 см

По усло­вию лам­поч­ка долж­на на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии от 60 до 80 см от линзы. Най­ден­ное зна­че­ние 70 см удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. Ответ: 70.

Задание 20. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением p1 ​=p2, где p1 и p2 — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, V1 и V2 — объём газа (в литрах) 
в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 243,2 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах. Ответ: 7,6