Файл к занятию 18.
Задание 1. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа.
Решение. На циферблате между десятью и четырьмя часами шесть часовых делений. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: 6/12=0,5. Ответ: 0,5.
Задание 2. Механические часы с 12-часовым циферблатом в какой-то момент времени сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Ответ: 0,25
Устно. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов. Ответ: 0,5.
Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым будет выступать француз. Ответ: 0,5
Пример 4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины. Ответ: 0,05
Пример 5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет решка? Ответ: 0,25 Задание 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадут 2 орла и 1решка? Решение: Рассмотрим возможные варианты: орел | орел | орел | орел | орел | решка | орел | решка | орел | решка | орел | орел | орел | решка | решка | решка | орел | решка | решка | решка | орел | решка | решка | решка | Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми. Следовательно, исковая вероятность Р(А)= 3/8=0,375 Ответ: 0,375 Задание 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы два орла. Ответ: 0,5
|
Задание 8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Ответ: 0,125
Задание 9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. Ответ: 0,375.
Задание 10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,08.
Задание 11. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых. Ответ:0,11
Задание 12. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,05. Дополнительно: Задание 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,11 | |
Задание 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых. Ответ:0,03 | |
Задание 3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.Ответ: 0,01 Задание 4. В случайном эксперименте бросают три кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,03 Задачи о близнецах | |
Задание 13. В классе 26 человек. Среди них 2 близнеца - Андрей и Паша. Класс случайным образом делят на 2 группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Паша окажутся в одной группе. Ответ: 0,48
- Какова вероятность попасть в разные группы? Ответ: 0,52
Задание 14. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Вадим окажутся в одной группе. Ответ: 0,2.
Противоположные события. Их вероятность равна 1.
Задание 15. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,7. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.
Решение. Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,7 = 0,3.Ответ: 0,3.
Независимые события- это те события, которые происходят независимо друг от друга. Например,
При бросании двух игральных костей: на первой кости выпало 3 очка независимо от того, сколько очков выпало на второй кости;
При бросании двух монет на одной монете выпал «орел», а на другой может выпасть как «орел» так и « решка».
Задачи о гроссмейстерах
Задание 16. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,56. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение :
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(А*В)= Р(А)*Р(В).
Р= 0,56 · 0,3 = 0,168.Ответ: 0,168.
Задание 17. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б.
с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём
во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Ответ: 0,156
Задание 18. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,07
Решение.
Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,9; он промахивается с вероятностью 1 − 0,9 = 0,1. Cобытия: «попасть» или «промахнуться» при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна Р= 0,9*0,9*0,9*0,9*0,1=0,065610,07. Ответ: 0,07.
Задание 19. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом). Ответ: 0,91.
Задание 20. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стекол, вторая – 75%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение.
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,25 · 0,04 = 0,01.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,75 · 0,02 = 0,015.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна Р= 0,01 + 0,015 = 0,025.Ответ: 0,025.
Задание 21. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая – 65%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.Ответ: 0,043.
Задание 22. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Решение.
Рассмотрим события A : «учащийся решит 11 задач» и событие В :«учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ: 0,07.
Задание 23. Вероятность того, что на тестировании по физике учащийся А. верно решит больше 6 задач, равна 0,61. Вероятность того, что А. верно решит больше 5 задач, равна 0,66. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 6 задач. Ответ:0,05
Задание 24. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Ответ: 0,06.
Задание 25. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,35.
Задание 26. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3. Ответ: 0,33.