Треугольник. Виды треугольников и их свойства.

Файл к занятию 4 по математике

Проверка домашнего задания.

За­да­ние 7. Двое ра­бо­чих, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить ра­бо­ту за 12 дней. За сколь­ко дней, ра­бо­тая от­дель­но, вы­пол­нит эту ра­бо­ту пер­вый ра­бо­чий, если он за 4 дня вы­пол­ня­ет такую же часть ра­бо­ты, какую вто­рой — за 3 дня? Ответ: 28

Треугольник. Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Неравенство треугольника. Биссектриса. Медиана. Высота.

Треугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная.

Пусть a ,b, c - длины сторон DC, AC, AB треугольника ABC соответственно; тогда

 — полупериметр треугольника ABC;

Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: a + b c, b +c a, a + c b

Сумма углов треугольника равна 180: .

Внешний угол — угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.

Задание 1. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 5°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах. Ответ:66

Задание 2. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 32°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах. Ответ:54

Задание 3. В треугольнике ABC угол A равен 58°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах. Ответ:122

Задание 4. В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 119.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: .

Задание 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.Ответ:2

Прямоугольный треугольник. Основы тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество.

При решении задач, связанных с прямоугольным треугольником, необходимо помнить теорему Пифагора, определение синуса, косинуса, тангенса, основное тригонометрическое тождество, формулы для вычисления R, r, S.

Теорема Пифагора: .В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Задание 6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB. Ответ:13

Решение прямоугольного треугольника:

;

Основное тригонометрическое тождество:.

Помним, что синусы смежных углов равны, т. е. sin cos тупого угла всегда меньше 0!

Задание 7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус и косинус этого угла. Ответ: 0,6; 0,8.

Задание 8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус и косинус этого угла. Ответ:0,8; -0,6.

Дополнительно. Задание 9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус и косинус этого угла.

Задание 10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=30, AC=3. Найдите sinA.

Решение. Возможны различные способы решения задачи. Рассмотрим два из них.

Способ1.

Помним, что Для нахождения синуса угла необходимо знать противолежащий катет и гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Зная прилежащий катет и гипотенузу, по теореме Пифагора найдем противолежащий катет и ответим на вопрос задачи.

АВ²=АС²+СВ²;

СВ²= АВ²-АС²; СВ²= 30²-(3²=900-171=729, СВ=27,

Способ 2.

Мы знаем в данном прямоугольном треугольнике прилежащий катет и гипотенузу. Значит, легко можем найти косинус угла А. А затем, используя основное тригонометрическое тождество , перейти от косинуса угла А к синусу угла А.

;

Ответ: 0,9.

Задание 11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=15, BC=9. Найдите cosA. Ответ:0,8

Задание 12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=16, tgA=9/40.  Найдите AB. Ответ:16,4

Задание 13. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ:31

Задание 14. Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ:78

Задание 15. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Ответ:55

Задание 16. В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8.Найдите синус угла BAC. Ответ:0,4

Задание 17. В треугольнике ABC AC=BC=12, AB=6.  Найдите cosA. Ответ: 0,25

Задание 19. Устно: На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла. Ответ:3,5

Задание 20. Устно: На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе. Ответ:1,5

Задание 21. Устно: На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ: 2,5

Задание22. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ:6

Задание 23. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ:3,5

Признаки подобия треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где k — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: , а периметры, как коэффициент подобия.

Задание 24. В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24.  Найдите площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника

• Площадь треугольника равна: . 

• Площадь треугольника равна: . 

• Формула Герона: . 

• Площадь треугольника равна: . 

• Площадь треугольника равна:S= . 

Задание 25.Устно: На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB. Ответ:5

Задание 26.Устно: На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC. Ответ:4

Задание 27. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. Ответ: 3 2) Ответ:18

Задание 28. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника. Ответ: 30,25

Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для данного треугольника есть величина постоянная и равная диаметру описанной около треугольника окружности: 

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: .

Задание 29. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 104, а основание 192. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Ответ: 135, 2

Подсказка: Для решения задачи можно воспользоваться теоремой синусов или по формуле Герона найти площадь треугольника, а затем по формуле найти радиус описанной окружности.