Четырехугольники. Параллелограмм и трапеция.

На этом занятии мы рассмотрим различные виды четырехугольников, их свойства и признаки, вспомним формулы для нахождения элементов фигур и вычисления их площади.  Разберем задания 3 и 6 из открытого банка заданий ЕГЭ

Конспект занятия "Четырехугольники. Параллелограмм и трапеция."

Файл к занятию 5.

Проверка домашнего задания

Задание 6. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см×1см. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах. Ответ: 12



Задание 10. Найдите радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности, если его основание 12, а высота, проведенная к нему, равна 9.

Решение:

Способ1: Воспользуемся формулой для нахождения радиуса описанной окружности R= . Нам необходимо найти площадь треугольника и длину боковой стороны. S= Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Рассмотрим треугольник ACH. Длину боковой стороны AC найдем по теореме Пифагора: R=.

Способ2: Воспользуемся теоремой синусов . Рассмотрим треугольник ACH. Аналогично предыдущему способу найдем АС, а затем .

Ответ: 6,5

Четырехугольники

Выпуклые четырехугольники

Выпуклый четырехугольник — четырехугольник, который расположен по одну сторону от любой из своих сторон.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360˚.

Средняя линия — отрезок прямой, соединяющий середины противоположных сторон.

Параллелограмм, его признаки и свойства

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: AB=CD, BC=AD, угол ABD равен углу ADC и угол BCD равен углу BAD.

  • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO=OC, OB=OD.

  • Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180˚.

  • Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: AC² + BD² = 2AB² + 2BC².

Признаки параллелограмма:

  • Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

  • Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

  • Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

  • Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Прямоугольник, его признаки и свойства

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства:

  • Все свойства параллелограмма.

  • Диагонали прямоугольника равны AC = BD.

Признак прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Ромб, его признаки и свойства

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

  • Все свойства параллелограмма.

  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

  • Диагонали ромба делят углы ромба пополам.

Признаки ромба:

  • Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

  • Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

Квадрат, его признаки и свойства

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы — прямые; или прямоугольник, у которого все стороны равны; или ромб, у которого все углы — прямые.

Свойства:

  • Все свойства прямоугольника и ромба.

  • Диагонали квадрата равны

Задание 1. Один угол параллелограмма больше другого на 40°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. Ответ:110

Задание 2. В ромбе ABCD угол DAB равен 148°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.

Решение: В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 Следовательно, угол ADC равен 180-148=32Помним, что диагонали ромба делят его углы пополам. Значит, угол BDC равнее 32:2=16. Ответ:16.

Задание 3. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD  sin C=, AD=21. Най­ди­те вы­со­ту, опу­щен­ную на сто­ро­ну AB. Ответ: 9

Задание 4. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль делит угол в от­но­ше­нии 1:2, мень­шая его сто­ро­на равна 6. Най­ди­те диа­го­наль дан­но­го пря­мо­уголь­ни­ка. Ответ: 12


Трапеция, ее признаки и свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие -боковыми сторонами.

Высота трапеции — расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любой общий перпендикуляр этих прямых.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. 

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов при основании равен 90˚.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны AB = CD. Тогда равны диагонали AC = BD и углы при основаниях.

Задание 5. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции, если ее ос­но­ва­ния равны 48 и 72. Ответ:60


Задание 6. Пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из вер­ши­ны ту­по­го угла на боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, делит его на части, име­ю­щие длины 74 и 41. Най­ди­те сред­нюю линию этой тра­пе­ции. Ответ:74 

Вписанные и описанные четырехугольники

Окружность называется вписанной в четырехугольник, если она касается всех сторон четырехугольника. В этом случае четырехугольник называется описанным около окружности.

  • Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны. AD+ CB= AB + DC

Окружность называется описанной около четырехугольника, если все его вершины лежат на окружности. В этом случае четырехугольник называется вписанным в окружность.

  • Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180

Помним:

  • Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

  • В ромб всегда можно вписать окружность.

  • Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Задание 7. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника 
равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ:103

Задание 8. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, BC=7 и AD=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.Ответ:5

Задание 9. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=22, CD=17. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.Ответ:78

Задание10.Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, в ко­то­рую впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са 47. Ответ:94

Задание11. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 12 и 15. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ:13,5

Решение задач на вычисление площади

Площадь четырехугольника

  • Любой четырехугольник можно разбить на треугольники, и его площадь будет равна сумме площадей треугольников.

  • Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна: .

  • Если четырехугольник вписан в окружность, то его площадь будет равна

  • Если диагонали выпуклого четырехугольника равны  и  и образуют угол , то площадь четырехугольника равна: .

Следствие:

Площадь ромба равна: .

Площадь квадрата: .



  • Площадь прямоугольника: .

  • Площадь параллелограмма: .

  • Площадь трапеции: .







Задание 12. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его сто­ро­ны равны 23, а один из углов равен 150°.

Решение: Площадь ромба можно вычислить по формуле: Подставляя в формулу данные задачи получаем Ответ:264,5

Задание 13. Диа­го­на­ли ромба от­но­сят­ся как 3:4. Пе­ри­метр ромба равен 200. Най­ди­те вы­со­ту ромба. Ответ:48

Задание 14. Най­ди­те пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка, если его пло­щадь равна 176, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4 : 11. Ответ:60

Задание 15. Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма. Ответ:1,5

Задание 16. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 1.

Решение : Задачу можно решить по-разному, но наиболее простой способ- использовать формулу для вычисления площади ромба =0,5. Ответ:0,5
Задание 17. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 12 и 18, а ее пло­щадь равна 60. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции. Ответ: 40.

Задание 18. Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка G — середина стороны CD.  Найдите площадь трапеции ABGD.

Решение: Проведем диагональ BD. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Значит, площадь треугольника DBC равна площади треугольника DAB и равна132:2= 66. Рассмотрим треугольник DBC. В этом треугольнике BG является медианой. По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника. Следовательно, площадь треугольника BGC равна 66:2=33. Площадь трапеции ABGD равна разности площадей параллелограмма ABCD и треугольника BGC. Площадь трапеции ABGD: 132-33=99. Ответ: 99

Площади фигур на квадратной решетке

Задание19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. Ответ:12

Задание 20. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.Ответ:16

Задание 21. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.Ответ:19,5

Если необходимо найти площадь треугольника или четырехугольника, расположенного на квадратной решетке, а высоту или основание найти сложно, то можно воспользоваться следующим правилом:

1) Достройте данную фигуру до прямоугольника (или квадрата) так, чтобы прямоугольник состоял из данной фигуры и прямоугольных треугольников.

2) Чтобы вычислить площадь данной фигуры, из площади построенного прямоугольника отнимите площади полученных прямоугольных треугольников.

3) Запишите результат.



Задание 22. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Задачу можно решить разными способами. Давайте найдем сторону квадрата и по формуле вычислим его площадь. По теореме Пифагора сторона квадрата=. Ответ:20

Задание 23. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.Ответ:30



Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

Один угол параллелограмма больше другого на 52°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Задание 2

(2 балла)

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника  равны 59° и 83°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Задание 3

(2 балла)

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"