Файл к занятию 5.
Проверка домашнего задания
Задание 6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 12
Задание 10. Найдите радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности, если его основание 12, а высота, проведенная к нему, равна 9.
Решение:
Способ1: Воспользуемся формулой для нахождения радиуса описанной окружности R= . Нам необходимо найти площадь треугольника и длину боковой стороны. S= Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Рассмотрим треугольник ACH. Длину боковой стороны AC найдем по теореме Пифагора: R=.
Способ2: Воспользуемся теоремой синусов . Рассмотрим треугольник ACH. Аналогично предыдущему способу найдем АС, а затем .
Ответ: 6,5
Четырехугольники
Выпуклые четырехугольники
Выпуклый четырехугольник — четырехугольник, который расположен по одну сторону от любой из своих сторон.
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360˚.
Средняя линия — отрезок прямой, соединяющий середины противоположных сторон.
Параллелограмм, его признаки и свойства Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: AB=CD, BC=AD, угол ABD равен углу ADC и угол BCD равен углу BAD.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: AO=OC, OB=OD.
Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180˚.
Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: AC² + BD² = 2AB² + 2BC².
Признаки параллелограмма:
Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Прямоугольник, его признаки и свойства Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства:
Признак прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Ромб, его признаки и свойства Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства:
Все свойства параллелограмма.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Диагонали ромба делят углы ромба пополам.
Признаки ромба:
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
Квадрат, его признаки и свойства Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы — прямые; или прямоугольник, у которого все стороны равны; или ромб, у которого все углы — прямые.
Свойства:
Задание 1. Один угол параллелограмма больше другого на 40°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. Ответ:110
Задание 2. В ромбе ABCD угол DAB равен 148°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.
Решение: В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 Следовательно, угол ADC равен 180-148=32Помним, что диагонали ромба делят его углы пополам. Значит, угол BDC равнее 32:2=16. Ответ:16.
Задание 3. В параллелограмме ABCD sin C=, AD=21. Найдите высоту, опущенную на сторону AB. Ответ: 9
Задание 4. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника. Ответ: 12
Трапеция, ее признаки и свойства Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие -боковыми сторонами.
Высота трапеции — расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любой общий перпендикуляр этих прямых.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов при основании равен 90˚.
Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны AB = CD. Тогда равны диагонали AC = BD и углы при основаниях.
Задание 5. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 48 и 72. Ответ:60
Задание 6. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 74 и 41. Найдите среднюю линию этой трапеции. Ответ:74
Вписанные и описанные четырехугольники
Окружность называется вписанной в четырехугольник, если она касается всех сторон четырехугольника. В этом случае четырехугольник называется описанным около окружности.
Окружность называется описанной около четырехугольника, если все его вершины лежат на окружности. В этом случае четырехугольник называется вписанным в окружность.
Помним:
Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.
В ромб всегда можно вписать окружность.
Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Задание 7. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника
равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ:103
Задание 8. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, BC=7 и AD=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.Ответ:5
Задание 9. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=22, CD=17. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.Ответ:78
Задание10.Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 47. Ответ:94
Задание11. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 12 и 15. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ:13,5
Решение задач на вычисление площади
Площадь четырехугольника
Любой четырехугольник можно разбить на треугольники, и его площадь будет равна сумме площадей треугольников.
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна: .
Если четырехугольник вписан в окружность, то его площадь будет равна
Следствие:
Площадь ромба равна: .
Площадь квадрата: .
Задание 12. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 23, а один из углов равен 150°.
Решение: Площадь ромба можно вычислить по формуле: Подставляя в формулу данные задачи получаем Ответ:264,5
Задание 13. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. Ответ:48
Задание 14. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 176, а отношение соседних сторон равно 4 : 11. Ответ:60
Задание 15. Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма. Ответ:1,5
Задание 16. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Решение : Задачу можно решить по-разному, но наиболее простой способ- использовать формулу для вычисления площади ромба =0,5. Ответ:0,5
Задание 17. Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 18, а ее площадь равна 60. Найдите периметр трапеции. Ответ: 40.
Задание 18. Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка G — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABGD.
Решение: Проведем диагональ BD. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Значит, площадь треугольника DBC равна площади треугольника DAB и равна132:2= 66. Рассмотрим треугольник DBC. В этом треугольнике BG является медианой. По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника. Следовательно, площадь треугольника BGC равна 66:2=33. Площадь трапеции ABGD равна разности площадей параллелограмма ABCD и треугольника BGC. Площадь трапеции ABGD: 132-33=99. Ответ: 99
Площади фигур на квадратной решетке
Задание19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. Ответ:12
Задание 20. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.Ответ:16
Задание 21. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.Ответ:19,5
Если необходимо найти площадь треугольника или четырехугольника, расположенного на квадратной решетке, а высоту или основание найти сложно, то можно воспользоваться следующим правилом:
1) Достройте данную фигуру до прямоугольника (или квадрата) так, чтобы прямоугольник состоял из данной фигуры и прямоугольных треугольников.
2) Чтобы вычислить площадь данной фигуры, из площади построенного прямоугольника отнимите площади полученных прямоугольных треугольников.
3) Запишите результат.
Задание 22. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Задачу можно решить разными способами. Давайте найдем сторону квадрата и по формуле вычислим его площадь. По теореме Пифагора сторона квадрата=. Ответ:20
Задание 23. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.Ответ:30