Решение текстовых задач.

На этом занятии мы продолжим решение задач на проценты,рассмотрим алгоритм решения простейших задач на совместную работу и на движение.  Разберем задания 1, 2,11 из открытого банка заданий ЕГЭ

Конспект занятия "Решение текстовых задач."

Файл к занятию 3

Проверка домашнего задания

Задание 7. Митя, Артем, Паша и Женя учре­ди­ли ком­па­нию с устав­ным ка­пи­та­лом 200000 руб­лей. Митя внес 18% устав­но­го ка­пи­та­ла, Артем  — 60000 руб­лей, Паша  — 0,18 устав­но­го ка­пи­та­ла, а остав­шу­ю­ся часть ка­пи­та­ла внес Женя. Учре­ди­те­ли до­го­во­ри­лись де­лить еже­год­ную при­быль про­пор­ци­о­наль­но вне­сен­но­му в устав­ной ка­пи­тал вкла­ду. Какая сумма от при­бы­ли 1100000 руб­лей при­чи­та­ет­ся Жене? Ответ дайте в руб­лях.

Решение:

Артем внес 60000/200000=6/20=3/10=0,3 устав­но­го ка­пи­та­ла; Митя 0,18; Паша 0,18 уставного капитала. Тогда Женя внес 1-(0,3+0,18+0,18)= 0,34 устав­но­го ка­пи­та­ла. Таким об­ра­зом, 0,34 от при­бы­ли 1100000 руб­лей Жене при­чи­та­ет­ся 0,341100000=374000 руб­лей. 

Ответ: 374 000.



Задание 8. Изюм по­лу­ча­ет­ся в про­цес­се сушки ви­но­гра­да. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да по­тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 12 ки­ло­грам­мов изюма, если ви­но­град со­дер­жит 90% воды, а изюм со­дер­жит 5% воды? Ответ: 114.


Масса, в кг

Содержание воды, %

Содержание сухого вещества, %

Виноград

?

90

10

Изюм

12

5

95




Решение :

  1. Найдем, сколько сухого вещества содержится в 12 кг изюма:

Изюм 12 кг -100%

Сухое в-во х кг – 95%



; х=; х=11,4



  1. Найдем массу винограда

Виноград у кг - 100%

Сухое в-во 11,4 кг – 10%



; у=114.

Ответ: 114 .



Задание 9. Че­ты­ре оди­на­ко­вые ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять таких же ру­ба­шек до­ро­же курт­ки? Ответ: 15.

Решение:

  1. Пусть куртка стоит х руб.Тогда 4 рубашки будут стоить х-0,08х=0,92х. Значит, одна рубашка будет стоить 0,92х: 4 = 0,23х

  2. Стоимость пяти рубашек будет 50,23х= 1,15х

  3. На сколь­ко про­цен­тов пять таких же ру­ба­шек до­ро­же курт­ки: 1,15х-х=0,15х; 0,15=15%

Ответ: 15.

Задание 10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Ответ: 27

Решение: Усло­вие «если бы зар­пла­та отца уве­ли­чи­лась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» озна­ча­ет, что зар­пла­та отца со­став­ля­ет 67% до­хо­да семьи. Усло­вие «если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%», озна­ча­ет, что 2/3 сти­пен­дии со­став­ля­ют 4% до­хо­да семьи, то есть вся сти­пен­дия до­че­ри со­став­ля­ет 6% до­хо­да семьи. Таким об­ра­зом, доход ма­те­ри со­став­ля­ет 100-(67+6)=27% до­хо­да семьи. Ответ: 27.

Задачи на проценты.

Задание 1. На сколько % 4 меньше 5? (20) 2. На сколько % 5 больше 4? (25)

Задание 2. Число увеличили на 20 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза? Решение : А(1 + 0,2) (1 + 0,1)=1,32А

Ответ: на 32%

Задание 3. Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 000 руб­лей, через два года был про­дан за 15 842 руб­лей.
Ре­ше­ние.

Пусть цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но сни­жа­лась на р про­цен­тов в год. Тогда за два года она сни­зи­лась на (1-0,01р)2, от­ку­да имеем:20000(1-0,01р)2=15842;(1-0,01р)2=0,7921;

1-0,01р=0,89; р=11.Ответ: 11.


Решение простейших текстовых задач на совместную работу и на движение.

Многие задачи на движение и работу решаются по единому алгоритму, о котором мы сегодня поговорим. Помимо этого, большинство задач в базе ЕГЭ  однотипны – уравнения получаются аналогичные, отличие только в числах. Главное — знать к ним подход. Для облегчения работы по составлению уравнения мы будем применять табличный способ записи условия задачи.

Задачи на совместную работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A= Pt. Здесь А - работа, t - время, а P- производительность. Производительность показывает, сколько работы сделано в единицу времени.

Правила решения задач на работу очень просты.

  1. A= Pt, то есть работа =  производительность время. Из этой формулы легко найти P или t. P= .

  2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти, то работа принимается за единицу. Построен дом, заполнен бассейн, перепечатана рукопись и т.д. А вот если речь идет о количестве деталей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.

  3. Если трудятся двое (трое) рабочих (два автомобиля, два крана, две машинистки…) — их производительности складываются. Совместная производительность равна сумме производительностей. Р=Р123+…

  4. При составлении уравнения в качестве переменной х  удобно взять именно производительность. Если нет возможности выбрать за х производительность, то берем время.

Задание 4. Первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а вторая за 15 часов. За сколько часов будет наполнен бассейн при одновременной работе двух труб? Ответ: 6 часов.


Задание 5. На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение.

Примем производительность  первого рабочего за х. Тогда производительность второго рабочего равна   х-10 (он делает на 10 деталей в час меньше). 


Р

t

А

первый рабочий

х

540

второй рабочий

Х-10

600

Первый рабочий выполнил заказ на 12 часов быстрее. Следовательно, t1 на 12 меньше, чем t2. t2 - t1 = 12. Составим уравнение:

Корни уравнения: 30;-15. Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной . Значит, отрицательный корень не подходит. Ответ: 30.

Задание 6. Первая труба про­пус­ка­ет на 3 литра воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 108 лит­ров она за­пол­ня­ет на 3 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба?

Ре­ше­ние.


Р

t

A

Первая труба

х

108

Вторая труба

Х+3

108

Так как ре­зер­ву­ар объ­е­мом 108 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 3 ми­ну­ты доль­ше,

чем вто­рая труба, то t1-t2=3.


; х1=9; х2=-12. Очевидно, производительность не может быть отрицательной . Значит, отрицательный корень не подходит. Ответ: 9.


Следующие две задачи проще решить по действиям, не составляя уравнение.


Задание 7.  Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 10 минут, вто­рой и тре­тий — за 15 минут, а пер­вый и тре­тий — за 24 ми­ну­ты. За сколь­ко минут три эти на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ответ: 9,6.


За­да­ние 8. Каж­дый из двух ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции может вы­пол­нить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них при­сту­пил к вы­пол­не­нию за­ка­за, к нему при­со­еди­нил­ся вто­рой ра­бо­чий, и ра­бо­ту над за­ка­зом они до­ве­ли до конца уже вме­сте. Сколь­ко часов по­тре­бо­ва­лось на вы­пол­не­ние всего за­ка­за?

Ре­ше­ние.

Ра­бо­чий вы­пол­ня­ет 1/15 часть за­ка­за в час, по­это­му за 3 часа он вы­пол­нит 1/5 часть за­ка­за. После этого к нему при­со­еди­ня­ет­ся вто­рой ра­бо­чий, и, ра­бо­тая вме­сте, два ра­бо­чих долж­ны вы­пол­нить 4/5 за­ка­за. Чтобы опре­де­лить время сов­мест­ной ра­бо­ты, необходимо разделить этот объём ра­бо­ты на сов­мест­ную про­из­во­ди­тель­ность. Покажем решение по действиям:

  1. *3= , т.е. всей работы выполнил 1 рабочий

  2. 1-= осталось выполнить

  3. += совместная производительность

  4. : = 6 (ч)

  5. 6+3=9(ч)

 

Ответ: 9.


Задачи на движение

Здесь всего два правила:

  1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле:  то есть расстояние  скорость  время. Из этой формулы можно выразить скорость  или время  

  2. В качестве переменной x удобнее всего выбирать скорость. Условие задачи также будем записывать в виде таблицы.

Задание 9. Из пункта А  в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В  на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.


V

t

S

велосипедист

x

50

автомобилист

X+40

50

Известно, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Значит, времени он затратил больше. Это значит, что t1 на четыре больше, чем t2, то есть

t1-t2=4. Составим уравнение:

.

Приведем к общему знаменателю левую часть

С учетом того, что х больше 0, воспользуемся основным свойством пропорции:

25(х+40)-25х=2х2+80х,

2+80х-1000=0,

Х2+40х-500=0,

D=1600+2000=3600,

Х1=10; х2= -50.

По смыслу задачи скорость не может быть меньше 0, поэтому х=10. Ответ: 10.

Задание 10. От при­ста­ни А к при­ста­ни В от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 5 часов после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью на 5 км/ч боль­шей от­пра­вил­ся вто­рой. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми равно 176 км. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да, если в пункт В он при­был од­но­вре­мен­но с пер­вым. Ответ дайте в км/ч. Ответ:16.


Задание 11. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч. Ответ:7.


При решении задач на движение по течению и против течения необходимо помнить, что Vпо течению = Vсобствен. + Vтечения; Vпротив течения = Vсобствен. - Vтечения

Задание 12. Лодка в 8: 00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 22: 00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 5 км/ч. Ответ: 1

Задание 13. Два че­ло­ве­ка от­прав­ля­ют­ся из од­но­го и того же места на про­гул­ку до опуш­ки леса, на­хо­дя­щей­ся в 4,4 км от места от­прав­ле­ния. Один идёт со ско­ро­стью 2,5 км/ч, а дру­гой — со ско­ро­стью 3 км/ч. Дойдя до опуш­ки, вто­рой с той же ско­ро­стью воз­вра­ща­ет­ся об­рат­но. На каком рас­сто­я­нии от точки от­прав­ле­ния про­изойдёт их встре­ча? Ответ:4



Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(5 баллов)

Один мастер может выполнить заказ за 30 часов, а другой — за 15 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Задание 2

(5 баллов)

Андрей и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Андрей — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Задание 3

(5 баллов)

Заказ на 156 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Предыдущий урок на тему " Решение простейших текстовых задач."