Файл к занятию 3
Проверка домашнего задания
Задание 7. Митя, Артем, Паша и Женя учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 18% уставного капитала, Артем — 60000 рублей, Паша — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1100000 рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.
Решение:
Артем внес 60000/200000=6/20=3/10=0,3 уставного капитала; Митя 0,18; Паша 0,18 уставного капитала. Тогда Женя внес 1-(0,3+0,18+0,18)= 0,34 уставного капитала. Таким образом, 0,34 от прибыли 1100000 рублей Жене причитается 0,341100000=374000 рублей.
Ответ: 374 000.
Задание 8. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 12 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? Ответ: 114.
| Масса, в кг | Содержание воды, % | Содержание сухого вещества, % |
Виноград | ? | 90 | 10 |
Изюм | 12 | 5 | 95 |
Решение :
Найдем, сколько сухого вещества содержится в 12 кг изюма:
Изюм 12 кг -100%
Сухое в-во х кг – 95%
; х=; х=11,4
Найдем массу винограда
Виноград у кг - 100%
Сухое в-во 11,4 кг – 10%
; у=114.
Ответ: 114 .
Задание 9. Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки? Ответ: 15.
Решение:
Пусть куртка стоит х руб.Тогда 4 рубашки будут стоить х-0,08х=0,92х. Значит, одна рубашка будет стоить 0,92х: 4 = 0,23х
Стоимость пяти рубашек будет 50,23х= 1,15х
На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки: 1,15х-х=0,15х; 0,15=15%
Ответ: 15.
Задание 10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Ответ: 27
Решение: Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет 100-(67+6)=27% дохода семьи. Ответ: 27.
Задачи на проценты.
Задание 1. На сколько % 4 меньше 5? (20) 2. На сколько % 5 больше 4? (25)
Задание 2. Число увеличили на 20 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза? Решение : А(1 + 0,2) (1 + 0,1)=1,32А
Ответ: на 32%
Задание 3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
Решение.
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на р процентов в год. Тогда за два года она снизилась на (1-0,01р)2, откуда имеем:20000(1-0,01р)2=15842;(1-0,01р)2=0,7921;
1-0,01р=0,89; р=11.Ответ: 11.
Решение простейших текстовых задач на совместную работу и на движение.
Многие задачи на движение и работу решаются по единому алгоритму, о котором мы сегодня поговорим. Помимо этого, большинство задач в базе ЕГЭ однотипны – уравнения получаются аналогичные, отличие только в числах. Главное — знать к ним подход. Для облегчения работы по составлению уравнения мы будем применять табличный способ записи условия задачи.
Задачи на совместную работу.
Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A= Pt. Здесь А - работа, t - время, а P- производительность. Производительность показывает, сколько работы сделано в единицу времени.
Правила решения задач на работу очень просты.
A= Pt, то есть работа = производительность время. Из этой формулы легко найти P или t. P= .
Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти, то работа принимается за единицу. Построен дом, заполнен бассейн, перепечатана рукопись и т.д. А вот если речь идет о количестве деталей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
Если трудятся двое (трое) рабочих (два автомобиля, два крана, две машинистки…) — их производительности складываются. Совместная производительность равна сумме производительностей. Р=Р1+Р2+Р3+…
При составлении уравнения в качестве переменной х удобно взять именно производительность. Если нет возможности выбрать за х производительность, то берем время.
Задание 4. Первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а вторая за 15 часов. За сколько часов будет наполнен бассейн при одновременной работе двух труб? Ответ: 6 часов.
Задание 5. На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Решение.
Примем производительность первого рабочего за х. Тогда производительность второго рабочего равна х-10 (он делает на 10 деталей в час меньше).
| Р | t | А |
первый рабочий | х | | 540 |
второй рабочий | Х-10 | | 600 |
Первый рабочий выполнил заказ на 12 часов быстрее. Следовательно, t1 на 12 меньше, чем t2. t2 - t1 = 12. Составим уравнение:
Корни уравнения: 30;-15. Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной . Значит, отрицательный корень не подходит. Ответ: 30.
Задание 6. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 108 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Решение.
| Р | t | A |
Первая труба | х | | 108 |
Вторая труба | Х+3 | | 108 |
Так как резервуар объемом 108 литров первая труба заполняет на 3 минуты дольше,
чем вторая труба, то t1-t2=3.
; х1=9; х2=-12. Очевидно, производительность не может быть отрицательной . Значит, отрицательный корень не подходит. Ответ: 9.
Следующие две задачи проще решить по действиям, не составляя уравнение.
Задание 7. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 15 минут, а первый и третий — за 24 минуты. За сколько минут три эти насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Ответ: 9,6.
Задание 8. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Решение.
Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, необходимо разделить этот объём работы на совместную производительность. Покажем решение по действиям:
*3= , т.е. всей работы выполнил 1 рабочий
1-= осталось выполнить
+= совместная производительность
: = 6 (ч)
6+3=9(ч)
Ответ: 9.
Задачи на движение
Здесь всего два правила:
Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время
В качестве переменной x удобнее всего выбирать скорость. Условие задачи также будем записывать в виде таблицы.
Задание 9. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
| V | t | S |
велосипедист | x | | 50 |
автомобилист | X+40 | | 50 |
Известно, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Значит, времени он затратил больше. Это значит, что t1 на четыре больше, чем t2, то есть
t1-t2=4. Составим уравнение:
.
Приведем к общему знаменателю левую часть
С учетом того, что х больше 0, воспользуемся основным свойством пропорции:
25(х+40)-25х=2х2+80х,
2х2+80х-1000=0,
Х2+40х-500=0,
D=1600+2000=3600,
Х1=10; х2= -50.
По смыслу задачи скорость не может быть меньше 0, поэтому х=10. Ответ: 10.
Задание 10. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 5 часов после этого следом за ним со скоростью на 5 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 176 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч. Ответ:16.
Задание 11. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч. Ответ:7.
При решении задач на движение по течению и против течения необходимо помнить, что Vпо течению = Vсобствен. + Vтечения; Vпротив течения = Vсобствен. - Vтечения
Задание 12. Лодка в 8: 00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 22: 00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 5 км/ч. Ответ: 1
Задание 13. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча? Ответ:4