Решение текстовых задач.

На этом занятии мы рассмотрим  решение текстовых задач  на движение и на совместную работу. Разберем задания 10, 11 из банка заданий ЕГЭ.

Конспект занятия "Решение текстовых задач."

Файл к занятию 25

Проверка домашнего задания


Задание 9. Баржа в 10:00 вышла из пунк­та A в пункт B, рас­по­ло­жен­ный в 15 км от A. Про­быв в пунк­те B 1 час 20 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт A в 16:00 того же дня. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна 7 км/ч. Ответ: 2


1час 20 минут = 1


V

t

S

По течению

15

Протии течения

15


Задание 10. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 22 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 113 км/ч, и через 30 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 69.


Решение задач


Задание 1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За час автомобилист проезжает на 80 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.



V

t

S

велосипедист

30

мотоциклист

30

Решение.

. Ответ:10


Задание 2. Расстояние между городами A и B равно 390 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему 
из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Такого типа задачу проще решить по действиям

1. 390-240=150(км)- проехал второй автомобиль

2. 150:75=2(ч)-был в пути второй автомобиль

3. 2+2=4 (ч) – был в пути первый автомобиль

4. 240:4=60 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

Ответ: 60


Решение задачи №1

Задание 1. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 30 литров бензина по цене 32 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира? Ответ: 25

Задание 2. Теплоход рассчитан на 900 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? Ответ: 19

Задание 3. В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 15 фунтов — за 696 рублей. В третьем банке 22 фунта стоят 1067 рублей. Какую наименьшую сумму (в рублях) придётся заплатить за 10 фунтов стерлингов? Ответ: 464

Задание 4. В городе N живёт 150 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работают (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.).Сколько взрослых жителей работает?

  1. 150000*0,15= 22500(чел.)-подростки

  2. 150000-22500=127500(чел. ) –взрослые

  3. 100-45=55(%)- работающие взрослые 55%=0,55

  4. 127500*0,55=70125(чел.)-работают

Ответ: 70125.

Задание 5. Пётр Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Какова скорость автомобиля 
в километрах в час, если спидометр показывает 28 миль в час? Считайте, 
что 1 миля равна 1609 м. Ответ округлите до целого числа. Ответ: 45

Помним, чтобы перевести единицы измерения скорости из м/с в км/ч: можно умножить на 3.6

Задание 6. Бегун пробежал 400 м за 45 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна 
на дистанции. Ответ дайте в километрах в час. Ответ: 32

Решение задачи №11


Задание 3. Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 000 руб­лей, через два года был про­дан за 15 842 руб­лей.
Ре­ше­ние.

Пусть цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но сни­жа­лась на р про­цен­тов в год. Тогда за два года она сни­зи­лась на (1-0,01р)2, от­ку­да имеем: 20000(1-0,01р)2=15842; (1-0,01р)2=0,7921;

1-0,01р=0,89; р=11.Ответ: 11.


Дополнительно. Митя, Артем, Паша и Женя учре­ди­ли ком­па­нию с устав­ным ка­пи­та­лом 200000 руб­лей. Митя внес 18% устав­но­го ка­пи­та­ла, Артем  — 60000 руб­лей, Паша  — 0,18 устав­но­го ка­пи­та­ла, а остав­шу­ю­ся часть ка­пи­та­ла внес Женя. Учре­ди­те­ли до­го­во­ри­лись де­лить еже­год­ную при­быль про­пор­ци­о­наль­но вне­сен­но­му в устав­ной ка­пи­тал вкла­ду. Какая сумма от при­бы­ли 1100000 руб­лей при­чи­та­ет­ся Жене? Ответ дайте в руб­лях.

Решение.

Артем внес 60000/200000=6/20=3/10=0,3 устав­но­го ка­пи­та­ла; Митя 0,18; Паша 0,18 уставного капитала. Тогда Женя внес 1-(0,3+0,18+0,18)= 0,34 устав­но­го ка­пи­та­ла. Таким об­ра­зом, 0,34 от при­бы­ли 1100000 руб­лей Жене при­чи­та­ет­ся 0,341100000=374000 руб­лей. 

Ответ: 374 000.


Задание 4. Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов пятнадцать таких же рубашек дороже куртки? Ответ: 35

Решение:

  1. Пусть куртка стоит х руб. Т.к. одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%, то 11 рубашек будут стоить х-0,01х=0,99х. Значит, одна рубашка будет стоить 0,99х: 11 = 0,09х

  2. Стоимость 15 рубашек будет 150,09х= 1,35х

  3. На сколь­ко про­цен­тов 15 таких же ру­ба­шек до­ро­же курт­ки: 1,35х-х=0,35х; 0,35=35%

Ответ: 35.

Задание 5. Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 65%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась вдвое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 2%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

Ре­ше­ние.

Усло­вие «если бы зар­пла­та отца уве­ли­чи­лась вдвое, доход семьи вырос бы на 65%» озна­ча­ет, что зар­пла­та отца со­став­ля­ет 65% до­хо­да семьи. Усло­вие «если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась вдвое, доход семьи со­кра­тил­ся бы на 2%», озна­ча­ет, что 1/2 сти­пен­дии со­став­ля­ют 2% до­хо­да семьи, то есть вся сти­пен­дия до­че­ри со­став­ля­ет 4% до­хо­да семьи. Таким об­ра­зом, доход ма­те­ри со­став­ля­ет 100% - (65%+4%)=31% до­хо­да семьи.

 Ответ: 31.



Решение текстовых задач на совместную работу

Многие задачи на движение и работу решаются по единому алгоритму. Помимо этого, большинство задач в базе ЕГЭ  однотипны – уравнения получаются аналогичные, отличие только в числах. Главное — знать к ним подход. Для облегчения работы по составлению уравнения можно применять табличный способ записи условия задачи.

Задачи на совместную работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A= Pt. Здесь А - работа, t - время, а P- производительность. Производительность показывает, сколько работы сделано в единицу времени.

Из этой формулы легко найти P или t. P= .

При составлении уравнения в качестве переменной х  удобно взять именно производительность. Если нет возможности выбрать за х производительность, то берем время.

Задание 6. На изготовление 720 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение.

Примем производительность  первого рабочего за х. Тогда производительность второго рабочего равна   х-2 (он делает на 2 детали в час меньше). 


Р

t

А

первый рабочий

х

720

второй рабочий

Х-2

840

Первый рабочий выполнил заказ на 6 часов быстрее. Следовательно, t1 на 6 меньше, чем t2. t2 - t1 = 6. Составим уравнение:

Корни уравнения: 30;-8. Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной . Значит, отрицательный корень не подходит. Ответ: 30.

Задание 7. Первая труба наполняет резервуар на 13 минут дольше, чем вторая. 
Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар 
за 42 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Ре­ше­ние.


Р

t

A

Первая труба

1

Вторая труба

х

1

Совместно

42

1

Так как совместная производительность равна сумме производительностей, то составим уравнение

; х1=78; х2=-7.

Т.к. производительность не может быть отрицательной ,то отрицательный корень не подходит. Значит, х=78. Ответ: 78.



Задание 8.  Пер­вый насос на­пол­ня­ет бак за 12 минут, вто­рой — за 14 минут, а тре­тий — за 1 час 24 ми­ну­ты. За сколь­ко минут на­пол­нят бак три на­со­са, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но? 


Ре­ше­ние. Обо­зна­чим объем бака за 1. Время ра­бо­ты равно от­но­ше­нию объёма ра­бо­ты к ско­ро­сти её вы­пол­не­ния. Совместная производительность трех насосов равна . Значит, время совместной

работы равно 1: . Ответ: 6.


Задача на концентрацию


Задание 9. Смешав 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 69-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.



Масса, в кг

Содержание вещества, в %

Содержание вещества , в кг

1 случай




1 раствор

х

43

0,43х

2 раствор

у

89

0,89у

добавили

10

-

-

Результирующий раствор

Х+у+10

69

0,69(х+у+10)

2 случай




добавили

10

50

5

Результирующий раствор

Х+у+10

73

0,73(х+у+10)



. Ответ: 35

Задача №10

Задание 10. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m = m0  где m0 — начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 90 мг. Период его полураспада T=3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 11,25 мг. Ответ: 9

Задание 11. Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий υ = 2 моля воз­ду­ха при дав­ле­нии p1 = 1,6 ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния p2. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем  A= , где  — по­сто­ян­ная, T = 300 K — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние p2 (в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 11 160 Дж. Ответ: 12,8


Задание 12. Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле t = . При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полёта будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v0=21 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с2. Ответ: 30







Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

Система навигации самолёта информирует пассажира о том, что полёт проходит на высоте 39 000 футов. Выразите высоту полёта в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

Задание 2

(2 балла)

Авторучка в магазине стоит 17 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 90 авторучек, если при покупке больше 50 авторучек магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

Задание 3

(2 балла)

В квартире, где проживает Анфиса, установлен прибор учёта расхода горячей воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 23,9 куб. м воды,  а 1 октября — 34,9 куб. м. Какую сумму должна заплатить Анфиса  за горячую воду за сентябрь, если цена 1 куб. м горячей воды составляет 78 руб. 60 коп.? Ответ дайте в рублях.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Следующий урок на тему " Планиметрия."
Предыдущий урок на тему " Решение текстовых задач."