Планиметрия.

На этом занятии мы рассмотрим решение заданий 3, 6 из банка заданий ЕГЭ. 

Конспект занятия "Планиметрия."

Файл к занятию 26

Решение заданий по планиметрии

Прямоугольный треугольник.

Теорема Пифагора: . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Решение прямоугольного треугольника:

;

Основное тригонометрическое тождество:,

Задание 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB. Ответ: 15

Задание 2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC. Ответ: 4

Задание 3. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 47. Найдите AB. Ответ: 94

Задание 4. В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 1, cosA =.  Найдите AC. Ответ: 5



Задание 5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tg A =.  Найдите AB. Ответ: 6,5

Помним, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы и равна радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Задание 6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ: 4,5

Дополнительно. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла. Ответ: 3,5



Задание 7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ: 6

Задание 8. Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 16

Задание 9. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 19°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ: 26

Дополнительно:

  • На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB. Ответ:10

  • В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. Ответ: 31




  • В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Ответ: 55

  • В треугольнике ABC AC=BC, AB=15, AH — высота, BH=6. Найдите косинус угла BAC. Ответ: 0,4

  • В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=28.  Найдите cosA. Ответ: 0,7

  • В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 6°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах. Ответ: 64



  • В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 119

Помним, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине.

  • На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB. Ответ: 2

  • На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите его градусную величину. Ответ: 45

Помним, свойства диагоналей ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

  • В ромбе ABCD угол ABC равен 150°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Ответ: 15



Помним, что: 1) синусы равных углов равны; 2)синусы смежных углов равны, т. е. sin cos тупого угла всегда меньше 0!

Задание 10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите: 1) синус этого угла; 2) косинус этого угла

А) Ответ: 1)0,8; 2)-0,6


в) Ответ:1) 0,6; 2) -0,8




Дополнительно. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите косинус этого угла. Ответ: 0,6




Задачи на вычисление площади

Устно:

  • На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ: 3

  • Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Ответ: 22





  • На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь. Ответ: 16

  • Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на меньшую из этих 
    сторон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма. Ответ: 1,5

Задание 11. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1 ; 12), (7 ; 14), (7 ; 20). Ответ: 18

Задание 12. Площадь параллелограмма ABCD равна 3. Точка H — середина стороны AD.  Найдите площадь трапеции AHCB. Ответ: 2,25

Задание 13. В треугольнике ABC EF — средняя линия. Площадь треугольника BEF равна 4.  Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: 16

Задание 14. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите площадь этого треугольника. Ответ: 36



Площадь круга .

Задание. 15. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 48. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 27



Дополнительно. Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 16. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора. Ответ: 6





Углы, связанные с окружностью



Задание 16. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 7/18 окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ: 70

Заданине17. На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 105°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 91°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 82

Помним, касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

Задание 18. Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 118

Задание 19. Угол ACB равен 58°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 154°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. Ответ: 19

Дополнительно. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 68°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 112



Вписанные и описанные четырехугольники

Помним, свойства вписанных и описанных четырехугольников.

  • Если около четырехугольника описана окружность, то суммы градусных мер его противолежащих углов равны 180°.

  • Если четырехугольник описан вокруг окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.



Задание 20. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности. Ответ: 4,5

Дополнительно.

  • Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 12 и 15. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 13,5

  • Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ: 103

  • Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Ответ: 35

Задание на повторение

  1. Найдите наименьшее значение функции y=(x−9)2​(x+4)−4 на отрезке [7 ; 16]. Ответ: -4

  2. Найдите точку максимума функции y =. Ответ: 1

  3. Найдите наибольшее значение функции y=x5−5x3−20x на отрезке [− 10; −1]. Ответ: 48



Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=16, tg A =940. Найдите AB.

Задание 2

(2 балла)

В треугольнике ABC   AC=BC, высота CH равна 7,2 и  cos A =45. Найдите AC.

Задание 3

(2 балла)

Один угол параллелограмма больше другого на 52°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Следующий урок на тему " Стереометрия."
Предыдущий урок на тему " Решение текстовых задач."