Файл к занятию 24
Решение текстовых задач
Решение задач на концентрацию
Если раствор (сплав) массой М содержит некоторое вещество массой m , то величину с =называют процентной концентрацией вещества в растворе.
Задание 1. В сосуд, содержащий 8 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: 16.
Дополнительно. В сосуд, содержащий 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора? Ответ: 8
Задание 2. Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: 17.
Дополнительно. Смешали некоторое количество 18-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: 16
Задание 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Ответ: 50
Дополнительно. Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй — 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 кг, содержащий 25% соли. На сколько килограммов масса первого раствора меньше массы второго? Ответ: 100.
Задание 4. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Ответ: 36.
Задача 5. Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 24-процентного раствора использовали для получения смеси? Ответ: 60.
Дополнительно. Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 54-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси? Ответ: 35.
Задание 6. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 15 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 34% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Ответ: 3.
Решение задач на проценты
Если величину А увеличить на р процентов, получим А(1+0,01р)
Если величину А уменьшить на р процентов, получим А(1-0,01р)
Если величину А увеличить на р процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим А((1+0,01р) (1-0,01р)
Если величину А дважды увеличить на р процентов, получим А(1 + 0,01р)²
Если величину А дважды уменьшить на р процентов, получим А(1 - 0,01р)²
Устно:
На сколько % 4 меньше 5? Ответ: на 20%
На сколько % 5 больше 4? Ответ: на 25%
Число увеличили на 30%, потом еще на 10%. На сколько % увеличили число за 2 раза? Решение: А(1+0,3)(1+0,1)=1,43А. Ответ: на 43%
Задание 7. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение. Пусть акции компании стоили А руб. После подорожания на р% и удешевления на р % акции будут стоить А(1+0,01р)(1-0,01р). В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. Таким образом, составим уравнение:
А- А(1+0,04)(1-0,04)= 0,04А
1-(1-(0,01р)2)=0,04
0,0001р2=0,04
р2=400
р=20
Ответ: 20.
Задание 8. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 36 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? Ответ: 342.
| Масса, в кг | Содержание воды, % | Содержание сухого вещества, % |
Виноград | ? | 90 | 10 |
Изюм | 36 | 5 | 95 |
Решение. 1 способ:
Найдем, сколько сухого вещества содержится в 36 кг изюма:
Изюм 36 кг -100%
Сухое в-во х кг – 95%
; х=; х=34,2
Найдем массу винограда
Виноград у - 100%
Сухое в-во 34,2 кг – 10%
; у=342.
2способ:
Согласно закону сохранения вещества количество сухого вещества в винограде 0,1х равно количеству сухого вещества в изюме 0,95. Составим уравнение:
0,1х = 0,95;
х =;
х = 342.
Ответ: 342 .
9. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 38 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды? Ответ: 171
Задание 10. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Ответ: 27.
| муж | жена | дочь | Общий доход |
В реальности | х | у | z | х+y+z |
Ситуация 1 | 2x | y | z | 1,67(x+y+z) |
Ситуация 2 | x | y | 1/3z | 0,96(x+y+z) |
Задание 11. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 58%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Ответ: 34.
Задачи на движение
Задание 12. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
.
| V | t | S |
туда | х | | 98 |
обратно | Х+7 | | 98 |
Ответ: 7
Задание 13. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 1 час 36 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города В в город А велосипедист? Ответ: 8.
)
| V | t | S |
велосипедист | | х | 1 |
мотоциклист | | Х-6 | 1 |
Ответ: 8.
Дополнительно. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 4 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 50 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист? Ответ: 5
Ответ: 5.
Задание 14. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого? Ответ: 33.
Задание 15.Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 90.