Файл к занятию 23
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Задание 1. Найдите наибольшее значение функции y=x5+20x3−65x на отрезке [− 4; 0]. Ответ: 44
Задание 2. Найдите наибольшее значение функции y = на отрезке [−38; -3]. Ответ: -54
Задание 3. Найдите наименьшее значение функции y= на отрезке .
Ответ: -6
Дополнительно. Найдите наименьшее значение функции y=e2x−2ex+8 на отрезке [− 2; 1]. Ответ: 7
Задание 4. Найдите наибольшее значение функции y=15x−3sinx+5 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 5
Дополнительно. Найдите наибольшее значение функции y=59x−56sinx+42 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 42
Задание 5. Найдите наименьшее значение функции y=13cosx+17x+21 на отрезке [0; 3π/2]. Ответ: 34
Задание 6. Найдите наибольшее значение функции y=25x−25tgx+41 на отрезке [0; π/4]. Ответ: 41
Задание 7. Найдите наименьшее значение функции y= 3x-ln(x+3)3 на отрезке [−2,5; 0]. Ответ: -6
Дополнительно. Найдите точку минимума функции y= 2x-ln(x+8)2 . Ответ: -7
Задание 8. Найдите точку минимума функции y= (1-2x)cosx + 2sinx +7 на отрезке Ответ: 0,5
Дополнительно. Найдите точку максимума функции y=(x+5)2⋅e2 − x.
Первообразная.
Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F' (x)= f(x).
Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.
Пример. Функция F(x)=x3 является первообразной функции f(x)=3x2 так как (x3)'=3x2. Функции F1(x)=x3 +5 и F2(x)=x3 - 7 также являются первообразными функции f(x). Любая функция вида F(x)=x3 +с, где с – произвольное число, является первообразной функции f(x).
Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое.
Задание 9. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [0; 5]. Ответ:1
Задание 10. На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x) = 0 на отрезке [−1; 3]. Ответ: 6
Дополнительно.
1. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2]. Ответ: 3
2. На рисунке изображён график функции y=F(x) и одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0на отрезке [−1; 3]. Ответ: 7.
Задание 11. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?
Решение: Т.к f(x)= F`(x), то функция f(x) отрицательна, если F(x) убывает и функция f(x) положительна, если F(x) возрастает. По рисунку определим, сколько точек попали на промежуток убывания F(x). Это точки х1, х4, х8.
Значит, таких точек 3. Ответ: 3
Задание 12. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1,x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. В скольких из этих точек функция f(x) положительна? Ответ:6
Криволинейная трапеция
Пусть на отрезке [а; в] задана непрерывная функция, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; в] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией.
Если функция непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; в], а F- ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на этом отрезке[а; в].
S= F(b)-F(a)
Задание 13. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). Ответ:7
Решение: Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD. Поэтому
S= F(b) – F(a)= Ответ:7.
Задание 14. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(− 1)−F(− 8), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). Ответ: 20
Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Совокупность всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .
Если F(x) - некоторая первообразная данной функции, то = F(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.
Площадь S криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а; в].
S= F(b)-F(a)=
Задание 15. На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция F(x)= x3+30x2+302x— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 6
Задание 16. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x3−3x2+152x−92 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592
Задание 17. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=− x3−92x2−6x+2 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 263