Первообразная и интеграл.

На этом занятии мы повторим  понятие первообразной и интеграла. Рассмотрим решение заданий   на нахождение первообразной и  вычисление площади криволинейной трапеции. Разберем задания 7 из банка заданий ЕГЭ.

Конспект занятия "Первообразная и интеграл."

Файл к занятию 23

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функ­ции  на от­рез­ке

Задание 1. Найдите наибольшее значение функции y=x5+20x3−65x на отрезке [− 4; 0]. Ответ: 44

Задание 2. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y = на от­рез­ке [−38; -3]. Ответ: -54
Задание 3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=  на от­рез­ке .
Ответ: -6

Дополнительно. Найдите наименьшее значение функции y=e2x2ex+8 на отрезке [−2;1]. Ответ: 7

Задание 4. Найдите наибольшее значение функции y=15x−3sinx+5 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 5

Дополнительно. Найдите наибольшее значение функции y=59x−56sinx+42 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 42

Задание 5. Найдите наименьшее значение функции y=13cosx+17x+21 на отрезке [0; 3π/2]. Ответ: 34

Задание 6. Найдите наибольшее значение функции y=25x−25tgx+41 на отрезке [0; π/4]. Ответ: 41

Задание 7. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y= 3x-ln(x+3)3 на от­рез­ке [−2,5; 0]. Ответ: -6
Дополнительно. Най­ди­те точку минимума функ­ции  y= 2x-ln(x+8)2 . Ответ: -7

Задание 8. Най­ди­те точку минимума функ­ции  y= (1-2x)cosx + 2sinx +7 на от­рез­ке  Ответ: 0,5


Дополнительно. Найдите точку максимума функции y=(x+5)2​⋅e2 − x.


Первообразная.

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F' (x)= f(x).


Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Пример. Функция F(x)=x3 является первообразной функции f(x)=3x2 так как (x3)'=3x2. Функции F1(x)=x3 +5 и F2(x)=x3 - 7  также являются первообразными функции f(x).  Любая функция вида F(x)=x3 +с, где с – произвольное число, является первообразной функции f(x).

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое.

За­да­ние 9. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [0; 5]. Ответ:1


За­да­ние 10. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=F(x) — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-2;4). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f (x) = 0  на от­рез­ке [−1; 3]. Ответ: 6




Дополнительно. 

1. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2]. Ответ: 3

2. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=F(x) и одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-2;4). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния  f(x) = 0на от­рез­ке [−1; 3]. Ответ: 7.


Задание 11. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

Решение: Т.к f(x)= F`(x), то функция f(x) отрицательна, если F(x) убывает и функция f(x) положительна, если F(x) возрастает. По рисунку определим, сколько точек попали на промежуток убывания F(x). Это точки х1, х4, х8.

Значит, таких точек 3. Ответ: 3


Задание 12. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1,x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. В скольких из этих точек функция f(x) положительна? Ответ:6

Криволинейная трапеция

Пусть на отрезке [а; в] задана непрерывная функция, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; в] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией.

Если функция непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; в], а F- ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на этом отрезке[а; в].

S= F(b)-F(a)

За­да­ние 13. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции  y=f(x)  (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x). Ответ:7

Решение: Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции ABCD.  По­это­му

 

S= F(b) – F(a)= Ответ:7.


За­да­ние 14. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(− 1)−F(− 8), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). Ответ: 20



Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Совокупность всех  первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается  .

Если F(x) - некоторая первообразная данной функции, то = F(x) + C,  где   C - произвольная постоянная.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.


Площадь S криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а; в].

S= F(b)-F(a)=

Задание 15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x). Функ­ция F(x)= x3+30x2+302x— одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции y = f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры. Ответ: 6


Задание 16. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x3−3x2+152x−92 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592



Задание 17. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=− x3−92x2−6x+2 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 263







Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой).  Пользуясь рисунком, вычислите                F(− 1)−F(− 9), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Задание 2

(2 балла)

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = F(x) — одной из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 4). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x) = 0 на от­рез­ке [−2; 3].

Задание 3

(2 балла)

На рисунке изображён график y =F (x) одной из первообразных некоторой функции (x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  f (x)=0 на отрезке  [2;11].

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Следующий урок на тему " Решение текстовых задач."