Производная. Применение производной к исследованию функции.

На этом занятии мы повторим  применение производной к исследованию функции: нахождение  максимумов и минимумов функции, наи­боль­шего  и наи­мень­шего значения функции. Разберем задания 7 и 12  из банка заданий ЕГЭ.

Конспект занятия "Производная. Применение производной к исследованию функции."

Файл к занятию 22

Повторить теоретический материал:

Таблица производных

f(x)

f`(x)

C=const

0

x

1

2x

3

n

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

ctg x

ln x



Правила вычисления производных.

Если у функций  U и  V существуют производные (V , то

  1. (U+V)`=U`+V`

  2. (UV)`= U`V+V`U

  3. (CU)`= CU`





Производная сложной функции:

h`(= g`(f(f

Достаточный признак возрастания (убывания) функции


1. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.

2. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.


Достаточное условие экстремума

Если f `(x0)=0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с «+» на « - », то x0 является точкой максимума функции.


Если f `(x0)=0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с « - » на «+», то x0 является точкой минимума функции.



Задание 1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-4;16). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке . Ответ: 1

 

Задание 2. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-2;21). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке . Ответ:2

 


Задание 3.На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 8; 3). В какой точке отрезка [− 6; −1] функция f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: -1



Дополнительно. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 5). В какой точке трезка [− 5; −1] функция f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: -5

Задание 4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле(−6; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой у = -6 или совпадает с ней.

Ответ: 7.



 

Задание 5. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].


Ре­ше­ние. Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4. Значит, ответ 1. Ответ: 1.


Алгоритм нахождения точек экстремума

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти производную функции  f '(x)

  3. Найти точки, в которых f '(x) = 0.

  4. Отметить на числовой прямой область определения функции и все нули производной.

  5. Определить знак производной для каждого промежутка. (Для этого подставляем "удобное" значение  x из этого промежутка в f '(x)).

  6. Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере (max или min) в каждой из критических точек.

Задание 1. Найдите точку максимума функции у = х3–5х2+7х–5. Ответ: 1



Дополнительно. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y= +6,5-30x+23. Ответ: -6.

Задание 2. Найдите точку минимума функции у = х3+5х2+7х–5.Ответ: 2

Ответ: –1

Дополнительно. Найдите точку минимума функции y=х3−4х2+4x+17. Ответ: 2

Задание 3. Найдите точку максимума функции y = ln(x+9)−10x+7. Ответ: -8,9

Задание 4. Найдите точку минимума функции y = 4х- ln(x+11)+12. Ответ: -10,75

Дополнительно. Найдите точку минимума функции y=1,5x2 −30x+48⋅lnx+4.


Задание 5. Найдите точку минимума функции y = . Ответ: -6


Дополнительно: Найдите точку максимума функции y =  .


Задание 6. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции y=10x-10ln(x+7)+5 . Ответ: -6


Задание 7. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y= (x+16). Ответ: -15




Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке


Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений либо во внутренних точках промежутка, либо на его концах. Поэтому для решения задач этого типа достаточно определить значения функции в точках экстремума и сравнить их с её значениями на концах отрезка. Выявлять тип экстремума необязательно.


Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке

  1. Найти производную функции f '(x).

  2. Найти точки, в которых f '(x) = 0. Проверить принадлежность этих точек отрезку

  3. Найти значение функции на концах отрезка и в данных точках.

  4. Выбрать из полученных значений наибольшее или наименьшее.

Задание 8. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  y= на от­рез­ке . Ответ: -137


Задание 9. Найдите наибольшее значение функции у= х3-6,5х2+14х-14 на отрезке[− 4; 3]. Ответ: -3,5


Задание 10. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y= (x+2)2(x+8)-7 на отрезке  . Ответ: 25


Задание 11. Найдите наибольшее значение функции y=х5 +20х3−65x на отрезке [− 4; 0]. Ответ: 44



Задание 12. Найдите наибольшее значение функции y=10⋅ln(x+8)−10x−18 на 
отрезке [− 7,5 ; 0]. Ответ: 52



Дополнительно. Найдите наибольшее значение функции y=12ln(x+2)−12x+7 на отрезке [−1,5;0]. Ответ: 19

Задание 13. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y = на от­рез­ке [−38; -3].Ответ: -54






Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−9; 8). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 10 или сов­па­да­ет с ней.

Задание 2

(2 балла)

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной y = f'(x) функ­ции y = f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−9; 8). В какой точке от­рез­ка [−8; -4] функ­ция y = f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Задание 3

(2 балла)

Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х3.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Следующий урок на тему " Первообразная и интеграл."