Производная. Правила вычисления производных.

Файл к занятию

Производная. Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x₀  и  x₀ + :  f ( x₀ ) и  f ( x₀ +  ). Здесь через  обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f( x₀ +  )  f ( x₀ ) называется приращением функции. 

Производной функции f(x) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение  .

Функция, которая имеет производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Производная функции обозначается f `.

Таблица производных

Правила вычисления производных.

Если у функций  U и  V существуют производные (V , то

1. (U+V)`=U`+V`

2. (UV)`= U`V+V`U

3. (CU)`= CU`

4. 

Производная сложной функции:

h`(= g`(f(f

Геометрический смысл производной.  

Выберем на графике функции  точку с абсциссой  x₀ и вычислим соответствующую  ординату  f (x₀) данной точки . В окрестности точки x₀ выберем произвольную точку x. Через соответствующие точки на графике функции проведем  секущую (ММ₀). При стремящемся к нулю, секущая переходит в касательную. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен производной функции в точке х_0.

.

Т.е. производная функции в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке (х₀; f(x₀)).

Уравнение касательной к графику функции y=f(x)   в точке  имеет вид:

y=f(x₀) + f `(x₀)(x-x₀)

В этом уравнении: x₀- абсцисса точки касания, f(x₀)- значение функции y=f(x) в точке касания, f `(x₀) - значение производной функции y=f(x)  в точке касания.

Задание 1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. Ответ: 0,6

Задание 2. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x​₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x​₀. Ответ: 0,25

Задание 3. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x_0. Ответ: 1

Задание 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. Ответ: -1,25

Задание 5. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. Ответ:2

Задание 6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 10. Най­ди­те f'(10). Ответ: -0,6

Механический смысл производной. 

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ +  ) - x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  /  . При    0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем: отношение . Значит, 

v ( t₀ ) = x’ ( t₀ )

 скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: 

a = v’ ( t ).

 Задание 7. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну x(t)= (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с. Ответ:20

Задание 8. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну x(t)= (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с. Ответ: 8

Дополнительно. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну x(t)= (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 4 м/с? Ответ: 3

Достаточный признак возрастания (убывания) функции

1. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.

2. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.

Задание 9. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x) и шесть точек на оси абс­цисс: x₁, x₂, x₃, …, x₆. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на? Ответ: 2

Задание 10. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? Ответ:4

Дополнительно. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? Ответ: 4

Задание 11. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7 ; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Ответ: 5

График производной!

Задание 12. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). 
На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6. 
Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)? Ответ:3

Задание 13.На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). 
На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?

Необходимое условие экстремума

Если точка х₀ является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то f `(x₀)=0

Задание 14. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x),опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-1;10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции f(x) равна нулю в точ­ках экс­тре­му­мов: 0; 2; 5 и 7. Про­из­вод­ная равна нулю в 4 точ­ках. Ответ: 4.

Задание 15. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Ответ: 7

Задание 16. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Ответ: 6

Задание 17. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6 ; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0 на отрезке [− 4,5 ; 2,5]. Ответ: 4

Достаточное условие экстремума

Если f `(x₀)=0 и при переходе через точку x₀ значение производной меняет знак с «+» на « - », то x₀ является точкой максимума функции.

Если f `(x₀)=0 и при переходе через точку x₀ значение производной меняет знак с « - » на «+», то x₀ является точкой минимума функции.

Задание 18. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 3 ; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 2 ; 15]. Ответ: 1

Задание 19. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-4;16). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке . Ответ: 1

Задание 20. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-2;21). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке .

Задание 21.На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 8; 3). В какой точке отрезка [− 6; −1] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Дополнительно. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 5). В какой точке отрезка [− 5; −1] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Задание 22. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней.

Решение: Так как ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 0. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния. Про­из­вод­ная равна нулю в точ­ках экс­тре­му­ма функ­ции. На за­дан­ном ин­тер­ва­ле функ­ция имеет 2 мак­си­му­ма и 3 ми­ни­му­ма, всего 5 экс­тре­му­мов. Таким об­ра­зом, ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней в 5 точ­ках. Ответ: 5.

Задание 23. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной y = f'(x) функ­ции y = f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−4; 8). В какой точке от­рез­ка [−3; 1] функ­ция y = f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Решение : На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке 1.Ответ: 1.

Задание 24. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].

Ре­ше­ние. Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4. Значит, ответ 1. Ответ: 1.