Многогранники. Призма. Пирамида.

На этом занятии мы рассмотрим решение задач на вычисление элементов, площади поверхности и объемов призмы и пирамиды. Разберем задания 8 из открытого банка заданий ЕГЭ.

Конспект занятия "Многогранники. Призма. Пирамида."

Файл к занятию 11

Многогранники



Призма

Призмой называется многогранник, у которого две грани-равные  n-угольники, а остальные n граней — параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, параллелограммы - боковыми гранями призмы. Боковые ребра призмы равны и параллельны.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности призмы. Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой. В противном случае призма называется наклонной.

У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если она прямая, и ее основания — правильные многоугольники.

Параллелепипед

Параллелепипедом называется призма, основанием которой является параллелограмм.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые и наклонные.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Длины не параллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.

  • Свойства параллелепипеда:

  • Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

  • Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

  • Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

  • Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Задание 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=16, A1B1=2, A1D1=8. Найдите длину диагонали AC1. Ответ:18



Задание 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=21, AD=20, AA1=23. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, A1 и C. Ответ: 667

Пирамида

Пирамида (n-угольная)-это многогранник, у которого одна грань- какой-нибудь n –угольник, а остальные n граней- треугольники с общей вершиной. n -угольник называется основанием, треугольники с общей вершиной- боковыми гранями, их общая вершина- вершина пирамиды.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Тетраэдр — это пирамида, в основании которой лежит треугольник.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Обычно выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а остальные грани называют боковыми гранями.

Правильным тетраэдром называют тетраэдр, у которого все ребра равны.

Правильной пирамидой называется такая пирамида, основание которой— правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой. Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром основания. Прямая, содержащая высоту правильной пирамиды, называется ее осью.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Свойства правильной пирамиды:

  • Боковые ребра пирамиды равны.

  • Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию пирамиды.

  • Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.

  • Высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит внутри пирамиды.

  • Все двугранные углы при основании пирамиды равны.

  • Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Помним:

    1. Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то в основании лежит правильный многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.

    2. Если двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.

Задание 3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, SD=37.Найдите длину отрезка BD.Ответ:24



Задание 4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD 
с вершиной S точка O — центр основания, SD=26, AC=20. Найдите длину отрезка SO. Ответ:24

Задание 5. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро 
равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды. Ответ: 3,5



Площадь поверхности и объём призмы

Пусть H — высота призмы, A1B1 — боковое ребро призмы, Росн — периметр основания призмы, Sосн площадь основания призмы,  Sбок— площадь боковой поверхности призмы, Sполн — площадь полной поверхности призмы, V - объем призмы, P — периметр перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Sбок = P  A1B1 

Sполн = 2Sосн + Sбок

V= Sосн

Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований:

Sбок = Росн

V= Sосн

Задание 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10. Ответ:248

 

Задание 7. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы. Ответ:42

Задание 8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 2, 
а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. Ответ: 212



Пусть H — высота пирамиды, Росн  — периметр основания пирамиды, Sосн  — площадь основания пирамиды, Sбок — площадь боковой поверхности пирамиды,  Sполн — площадь полной поверхности пирамиды, V — объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

Sполн = Sосн + Sбок

V= Sосн

Если все двугранные углы при основании пирамиды равны , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны hбок, то

Sбок = Росн hбок ; Sбок =

Для правильной пирамиды: Sбок = Росн hбок 

Задание 9. Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды. Ответ: 340

Задание 10. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём. В ответ запишите объем, деленный на . Ответ: 14


Задание 11. Най­ди­те объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 3, а вы­со­та равна 6. Ответ:13,5


Задание 12. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 12, объем равен 200. Най­ди­те бо­ко­вое ребро этой пи­ра­ми­ды. Ответ:13




Задание 13. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 10, бо­ко­вое ребро равно 20. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды. Ответ:1500

Дополнительно:

Задание 1. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды. Ответ: 6

Задание 2.Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ:1152



 

Задание 14. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).  Ответ:108

Задание 15. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке, все дву­гран­ные углы ко­то­ро­го пря­мые.  Ответ: 14


Задание 16. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).  Ответ: 132




Задание 17 . Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти куба, если его ребро уве­ли­чить в два раза? Во сколько раз увеличится объем? Ответ:4



Задание 18. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза? Ответ: 8

Задание 19. Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 105 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.

 

Задание 20. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы. Ответ: 8



Задание 21. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы равен 7,5. Най­ди­те объем ис­ход­ной приз­мы. Ответ: 30


Задание 22. Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 12. Какой будет пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы, если все ее ребра уве­ли­чить в шесть раз? Ответ: 432


Задание 23. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. Ответ: 37,5


Задание 24. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. Ответ: 74





Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD  точка O- центр ос­но­ва­ния, S- вер­ши­на, SO=4SC=5. Най­ди­те длину от­рез­ка AC.

Задание 2

(2 балла)

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер: AB = 3, AD = 5, AA1 = 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки AB и C1.

Задание 3

(2 балла)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что  BB1=8, A1B1=14, A1D1=8. Найдите длину диагонали AC1.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Следующий урок на тему " Тела вращения. Конус, цилиндр, шар."