Тела вращения. Конус, цилиндр, шар.

Файл к занятию 12

Цилиндр

V=

Конус

V=

Задание 1. Высота конуса равна 24, а диаметр основания равен 90. Найдите образующую конуса. Ответ: 51

Задание 2. Высота конуса равна 9, а длина образующей равна 41. Найдите диаметр основания конуса. Ответ:80

Задание 3. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π, вы­со­та — 6. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. Ответ: 24.

Задание 4. Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения. Ответ: 252

Задание 5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 3

Задание 6. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 6 и 9, а второго — 9 и 2.  Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго? Ответ: 2

Задание 7. В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см. Ответ: 4.

Задание 8. Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой. Ответ:4,5

Задание 9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 дм³ воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,6 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм³. Ответ: 6

Задание 10. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 1200 см³ воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 10 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в см³. Ответ: 1000.

Задание 11. Объём конуса равен 60π, а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса. Ответ:6

Задание 12. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π. Ответ: 24

Задание 13. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней? Ответ: 25

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию (перпендикулярной высоте), делит высоту и образующие конуса на пропорциональные отрезки.

Площади сечений конуса, параллельных его основанию, относятся как квадраты их расстояний от вершины конуса.

Задание 14. Площадь полной поверхности конуса равна 16. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Решение: 1 способ:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

Так как сечение делит высоту конуса пополам, значит, радиус основания и образующая отсеченного конуса в 2 раза меньше радиуса основания и образующей исходного конуса. Следовательно, площадь поверхности отсеченного конуса

Площадь поверхности отсеченного конуса равна 16/4=4.

2 способ: Исходный и отсеченный конус являются подобными телами. Следовательно, площади их поверхности относятся как коэффициент подобия в квадрате.

k=;

Ответ:4

Задание 15. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. Ответ: 12,6

Задание 16. В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 1/2 вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 54 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы пол­но­стью на­пол­нить сосуд?

Ре­ше­ние.

Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том k=. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия.. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­cа. V= 54 мл. Значит, не­об­хо­ди­мо до­лить 432 − 54 = 378 мл жид­ко­сти. Ответ: 378.

Задание 17. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 25 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:175

Шар и сфера. Площадь поверхности и объем.

Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара.

Пусть R — радиус шара, D=2R — его диаметр, S — площадь ограничивающей шар сферы, V — объем шара, тогда имеют место следующие соотношения:

Задание 18. Даны два шара с радиусами 8 и 2.

1)Во сколько раз объём большего шара больше объёма другого? Ответ: 64.

2) Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого? Ответ:16

Задание 19. Ци­линдр и конус имеют общее ос­но­ва­ние и общую вы­со­ту. Вы­чис­ли­те объем ци­лин­дра, если объем ко­ну­са равен 42.

Ре­ше­ние.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Так как они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са. Ответ: 126.

Задание 20. Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен 10. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са. Ответ: 20

Задание 21. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса 
равна 11 . Найдите радиус сферы. Ответ:11

Задание 22. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру шара, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен ра­ди­у­су шара. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра: 

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:
=

 Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра: 

Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара вычисляется по фор­му­ле 
 ,

Найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

Имеем: 

. Ответ:166,5.

Задание 23. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 48. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра. Ответ: 72

Задание 24. Ци­линдр опи­сан около шара. Объем шара равен 24. Най­ди­те объем ци­лин­дра. Ответ: 36

Задание 25. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50.  Найдите объём цилиндра. Ответ:75