Преобразование тригонометрических выражений.Решение простейших тригонометрических уравнений.

Файл к занятию 10.

Единичная окружность. Синус. Косинус. Тангенс. Котангенс.

cos

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента

Формулы сложения

;

;

;

.

;

.

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения.

Применение формул приведения можно свести к использованию правила:

1. Правило названий: если аргумент приводимой функции имеет вид (   ) или   , то функция меняется на сходственную(на кофункцию) , если аргумент приводимой функции имеет вид , то функция названия не меняет.

2. Правило знака: определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, в предположении, что  — острый угол, и определяется знак приводимой функции в этой четверти. ( Т.е. в правой части формулы ставится тот знак, который имеет значение выражения в левой части)

Формулы двойного аргумента (формулы двойного угла )

=

;

=

Свойства основных тригонометрических функций

Функции sinx, tgx, ctgx  являются нечетными функциями, а cosx — четной:

• sin (-x)= - sin x;

• cos(-x) = cos x;

• tg (-x) = - tg x;

• ctg(-x) = - ctgx.

Период для функций sin x и cos x есть 2; для функций tg x и ctg x : .

Задание 1. Най­ди­те cosα , если sin α =  и α ∈ (π/2; π) . Ответ: -0,1

Задание 2. Най­ди­те sinα , если cos α =  и α ∈ (π; 3π/2) . Ответ: -0,7

Задание 3. Най­ди­те tgα , если cos α =  и α ∈ (3π/2; 2π). Ответ: −3.

Задание 4. Най­ди­те tgα , если sin α =  и α ∈ (0; π/2) . Ответ: 0,9.

Задание 5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 9,5

 Задание 6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  . Ответ:-12

Задание7. Найдите значение выражения 46.Ответ:-11

Задание 8.

1. Найдите значение выражения 7. Ответ: -3,5

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: -1,5

Самостоятельная работа

Задание 1. Най­ди­те cosα , если sin α =-  и 270°x360° . Ответ: 0,25

Задание 2. Най­ди­те tgα , если sin α =  и α ∈ (π/2; π) . Ответ:-2

Задание 3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 10

Задание 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 2 . Ответ:6

Задание 5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 14 . Ответ:-21

Задание 6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 10, если Ответ:5

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Пусть . Арксинусом числа называется угол такой, что .

Например:;;;arcsin⁡ ; arcsin⁡; arcsin ; arcsin(-1).

Пусть. Арккосинусом числа называется угол такой, что .

Например:;=;

Пусть Арктангенсом числа называется угол такой, что

Пусть Арккотангенсом числа называется угол такой, что

Например:

Решение тригонометрических уравнений

Частные случаи:

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Решение уравнения

Обычная форма записи решения

Помним, если то уравнение не имеет корней.

Задание 9.

1) Решите уравнение .

2)укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π ; 5π/2].

Ответ: 1)

2)

Решение уравнения

Обычная форма записи решения

Помним, если то уравнение не имеет корней.

Задание 10.

1) Решите уравнение Cos x= ;

2) найдите его корни на промежутке

Ответ: 1)

2)

Задание 11.

1) Решите уравнение: cos ( – x) = ;

2) укажите корни, принадлежащие отрезку

Ответ: 1)

2)

Решение уравнения

Обычная форма записи решения

Решение уравнения

Обычная форма записи решения

Задание 12.

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 7π/2].

Ответ: 1)

2)

Задание 13.

а) Решите уравнение  =1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0 ; π/4].

Ответ: 1);;

2)