Файл к занятию 7
Числа и вычисления. Степени и корни.
Проверка домашнего задания.
Задание 8. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 120
Задание 9. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Ответ:3
Числа и вычисления
Задание 1. Найдите значение выражения 7 :. Ответ: 31.
Задание 2. Найдите значение выражения . Ответ: 7
Задание 3. Найдите значение выражения (72 . Ответ:702
Задание 4. Найдите значение выражения. Ответ: 19,68
Свойства степени с рациональным показателем
Пусть дано положительное число a и произвольное рациональное число n. Число называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:
;
Если и — положительные числа, — любые рациональные числа, то справедливы следующие свойства:
Задание 5. Найдите значение выражения (54)6:522. Ответ: 25
Задание 6. Найдите значение выражения (7х3)2:(7х6). Ответ: 7
Задание 7. Найдите значение выражения 20− 3,9⋅52,9:4− 4,9. Решение:
Запишем выражение в виде дроби. Ответ: 0,8
Задание 8. Найдите значение выражения . Ответ:1,5
Задание 9. Найдите значение выражения . Ответ:7
Задание 10. Найдите значение выражения .Ответ:4
Задание 11. Найдите значение выражения . Ответ: 5.
Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .
Задание 12. Найдите значение выражения .Ответ: 25
Задание 13. Найдите значение выражения. Ответ:5
Решение: Заменим корни степенью числа 5:
Задание 14. Найдите значение выражения при x=. Ответ:2
Степень с действительным показателем
Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . При положительном основании понятие степени определено для любого рационального и для любого иррационального показателя, т.е. для любого действительного показателя. При этом все действия со степенями с произвольными действительными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с рациональными показателями.
Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .
Задание 15. Найдите значение выражения.Ответ: 900
Задание 16. Найдите значение выражения . Ответ:0,008
Корень n-ной степени
Пусть — натуральное число, неравное единице. Если — четно, то арифметическим корнем -ной степени из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, -ная степень которого равна . Если — нечетно, то арифметическим корнем -ной степени из числа называется такое число, -ная степень которого равна .
По определению:.
Свойства арифметического квадратного корня:
Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел. Т.е. при любых значениях .
Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя. Т.е. при любых значениях .
Задание 17. Вычислите значение числового выражения:
1); Ответ: 96
2) . Ответ:6
3)132
4) . Ответ: 1056
Задание 18. Вычислите значение числового выражения:
1) . Ответ: 2
2). Ответ:4
3 ) . Ответ: 5
4). Ответ: 3
Задание 19. Найдите значение выражения . Ответ: 3
Помним : (
Задание 20. Найдите значение выражения:
1) ( - ). Ответ: 6
2) ( - ). Ответ:21
3) ( - ). Ответ:11
Задание 21. Найдите значение выражения:
1). Ответ:-18
2). Ответ:7
3). Ответ: -4
При любом значении имеет место равенство
Задание 22. Преобразовать выражение при
1)р ≥-9. Ответ: р+9
2) р
Задание 23. Преобразовать выражение при а
Задание 24.Найдите значение выражения при . Ответ: 2
Задание 25. Найдите значение выражения .Ответ: -2
Задание 26. Найдите значение выражения .
Решение: Возведем числитель в квадрат и раскроем скобки:= = = 0,2. Ответ: 0,2
Задание 27. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1)
2)
3)
Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:
Задание 28. Найдите значение выражения при .
Решение:
Воспользуемся свойствами корня. Ответ:9
Задание 29. Найдите значение выражения при . Ответ: 4
Задание 30. Найдите значение выражения:
.
Решение: Выделим полный квадрат под корнем и воспользуемся формулой
=
Аналогично выполним преобразование под вторым корнем:
=.
= . Ответ: 3