Числа и вычисления. Степени и корни.

Файл к занятию 7

Числа и вычисления. Степени и корни.

Проверка домашнего задания.

Задание 8. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 120

Задание 9. На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ра­же­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры. Ответ:3

Числа и вычисления

Задание 1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 7 :. Ответ: 31.

Задание 2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 7

Задание 3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния (72 . Ответ:702

Задание 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния. Ответ: 19,68

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть дано положительное число a и произвольное рациональное число n. Число называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:

• ;

Если  и  — положительные числа,    — любые рациональные числа, то справедливы следующие свойства:

Задание 5. Найдите значение выражения (5⁴)⁶:5²². Ответ: 25

Задание 6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния (7х³)²:(7х⁶). Ответ: 7

Задание 7. Найдите значение выражения 20^− 3,9​⋅5^2,9​:4^− 4,9. Решение:

Запишем выражение в виде дроби. Ответ: 0,8

Задание 8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ:1,5

Задание 9. Найдите значение выражения . Ответ:7

Задание 10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .Ответ:4

Задание 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  . Ответ: 5.

Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .

Задание 12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .Ответ: 25

Задание 13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния. Ответ:5

Решение: Заменим корни степенью числа 5:

Задание 14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при x=. Ответ:2

Степень с действительным показателем

Пусть дано положительное число  и произвольное действительное число . При положительном основании понятие степени определено для любого рационального и для любого иррационального показателя, т.е. для любого действительного показателя. При этом все действия со степенями с произвольными действительными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с рациональными показателями.

Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то .

Задание 15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния.Ответ: 900

Задание 16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  . Ответ:0,008

Корень n-ной степени

Пусть  — натуральное число, неравное единице. Если  — четно, то арифметическим корнем  -ной степени из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, -ная степень которого равна . Если  — нечетно, то арифметическим корнем  -ной степени из числа  называется такое число, -ная степень которого равна .

По определению:.

Свойства арифметического квадратного корня:

• Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел. Т.е. при любых значениях .

• Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя. Т.е. при любых значениях .

Задание 17. Вычислите значение числового выражения:

1); Ответ: 96

2) . Ответ:6

3)132

4) . Ответ: 1056

Задание 18. Вычислите значение числового выражения:

1) . Ответ: 2

2). Ответ:4

3 ) . Ответ: 5

4). Ответ: 3

Задание 19. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ: 3

Помним : (

Задание 20. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

1) (  - ). Ответ: 6

2) (  - ). Ответ:21

3) (  - ). Ответ:11

Задание 21. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

1). Ответ:-18

2). Ответ:7

3). Ответ: -4

При любом значении имеет место равенство

Задание 22. Преобразовать выражение при

1)р ≥-9. Ответ: р+9

2) р

Задание 23. Преобразовать выражение при а

Задание 24.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при . Ответ: 2

Задание 25. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .Ответ: -2

Задание 26. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Решение: Возведем числитель в квадрат и раскроем скобки:= = = 0,2. Ответ: 0,2

Задание 27. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1)

2)

3)

Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:

• 

• 

• ; b

• 

• =

• =

• 

Задание 28. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при .
Решение:

Воспользуемся свойствами корня. Ответ:9

Задание 29. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   при . Ответ: 4
Задание 30. Найдите значение выражения:

.

Решение: Выделим полный квадрат под корнем и воспользуемся формулой

=

Аналогично выполним преобразование под вторым корнем:

=.

= . Ответ: 3