Файл к занятию 7
Числа и вычисления. Степени и корни.
Проверка домашнего задания.
Задание 8. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 120

Задание 9. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Ответ:3

Числа и вычисления
Задание 1. Найдите значение выражения 7
:
. Ответ: 31.
Задание 2. Найдите значение выражения
. Ответ: 7
Задание 3. Найдите значение выражения (72
. Ответ:702
Задание 4. Найдите значение выражения
. Ответ: 19,68
Свойства степени с рациональным показателем
Пусть дано положительное число a и произвольное рациональное число n. Число
называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:
; 
Если
и — положительные числа,
— любые рациональные числа, то справедливы следующие свойства:
Задание 5. Найдите значение выражения (54)6:522. Ответ: 25
Задание 6. Найдите значение выражения (7х3)2:(7х6). Ответ: 7
Задание 7. Найдите значение выражения 20− 3,9⋅52,9:4− 4,9. Решение:
Запишем выражение в виде дроби
. Ответ: 0,8
Задание 8. Найдите значение выражения
. Ответ:1,5
Задание 9. Найдите значение выражения
. Ответ:7
Задание 10. Найдите значение выражения
.Ответ:4
Задание 11. Найдите значение выражения
. Ответ: 5.
Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то
.
Задание 12. Найдите значение выражения
.Ответ: 25
Задание 13. Найдите значение выражения
. Ответ:5
Решение: Заменим корни степенью числа 5: 
Задание 14. Найдите значение выражения
при x=
. Ответ:2
Степень с действительным показателем
Пусть дано положительное число
и произвольное действительное число
. При положительном основании понятие степени определено для любого рационального и для любого иррационального показателя, т.е. для любого действительного показателя. При этом все действия со степенями с произвольными действительными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с рациональными показателями.
Помним: Если m — целое, а n — натуральное число и n ≥ 2, то
.
Задание 15. Найдите значение выражения
.Ответ: 900
Задание 16. Найдите значение выражения
. Ответ:0,008
Корень n-ной степени
Пусть
— натуральное число, неравное единице. Если
— четно, то арифметическим корнем
-ной степени из неотрицательного числа
называется такое неотрицательное число,
-ная степень которого равна
. Если
— нечетно, то арифметическим корнем
-ной степени из числа
называется такое число,
-ная степень которого равна
.
По определению:
.
Свойства арифметического квадратного корня:
Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел. Т.е. при любых значениях
.
Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя. Т.е. при любых значениях
.
Задание 17. Вычислите значение числового выражения:
1)
; Ответ: 96
2)
. Ответ:6
3)132
4)
. Ответ: 1056
Задание 18. Вычислите значение числового выражения:
1)
. Ответ: 2
2)
. Ответ:4
3 )
. Ответ: 5
4). Ответ: 3
Задание 19. Найдите значение выражения . Ответ: 3
Помним : (
Задание 20. Найдите значение выражения:
1) (
-
). Ответ: 6
2) (
-
). Ответ:21
3) (
-
). Ответ:11
Задание 21. Найдите значение выражения:
1)
. Ответ:-18
2). Ответ:7
3). Ответ: -4
При любом значении
имеет место равенство 
Задание 22. Преобразовать выражение
при
1)р ≥-9. Ответ: р+9
2) р
Задание 23. Преобразовать выражение
при а
Задание 24.Найдите значение выражения
при
. Ответ: 2
Задание 25. Найдите значение выражения .Ответ: -2
Задание 26. Найдите значение выражения
.
Решение: Возведем числитель в квадрат и раскроем скобки:
= = = 0,2. Ответ: 0,2
Задание 27. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1)
2)
3)
Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:
Задание 28. Найдите значение выражения
при
.
Решение:
Воспользуемся свойствами корня
. Ответ:9
Задание 29. Найдите значение выражения при
. Ответ: 4
Задание 30. Найдите значение выражения:
.
Решение: Выделим полный квадрат под корнем и воспользуемся формулой
=
Аналогично выполним преобразование под вторым корнем:
=
.
= . Ответ: 3