Рациональные уравнения и неравенства.

Файл к занятию 8. Решение уравнений и неравенств.

1. Проверка домашнего задания

Задание 10. Найдите значение выражения ( . Ответ: 1,5

Линейные уравнения

Уравнения вида ax=b, где a и b- некоторые числа ,х- неизвестное, называется линейным уравнением с одной переменной.

Задание 1. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  . Ответ: -9

Задание 2. Найдите корень уравнения 5−6(− 2x+5)=− 1. Ответ: 2

Квадратные уравнения

Уравнение вида  c = 0 , где  x  — неизвестное,  a, b, c — некоторые числа (и a ) , называется квадратным уравнением.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется следующим образом:

D.

Уравнение вида  называется приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета для квадратных уравнений

Если уравнение  c = 0. (a ) имеет 2 корня, то их сумма равна , а произведение равно .

Теорема Виета для приведенных квадратных уравнений

Если х₁и х₂ – корни приведенного квадратного уравнения  , то

Задание 3. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них. Ответ:8

Задание 4. Найдите корень уравнения (5х-8)²=(5х-2)². Ответ: 1

Задание 5. Найдите корень уравнения х² – 8 = (х-4)². Ответ: 3

Задание 6. Решите уравнение -12х³+24х²+36х=0. В ответ запишите больший корень. Ответ:3

Задание 7. Решите уравнение (х²-1)(х²+13)=0. В ответ запишите меньший корень. Ответ: -1

Биквадратные уравнения

Биквадратным называется уравнение вида a, где a .Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной. Введем замену   При этом учтем, что . С учетом замены перейдем к квадратному уравнению  c = 0. Решив его, найдем значение переменной х.

Рассмотрим решение на примере.

Задание 8. Решите уравнение х⁴+12х²-13=0. В ответ запишите больший корень.

Решение:

Введем замену х²=у, С учетом замены получаем квадратное уравнение

у²+12у-13=0.

По теореме Виета (или через дискриминант)подбираем корни уравнения у₁=1, у₂=-13.

Второй корень не подходит ,т. к. по условию

Возвращаемся к замене. х²=1,х=

Ответ:1

Решение дробно- рациональных уравнений

Дробно - рациональные уравнения – это уравнения вида = 0.

Уравнение =0 равносильно системе

Задание 9. Решите уравнение . Ответ:3

Задание 10. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответ запишите больший из них. Ответ:5

Задание 11. Решите уравнение . В ответ запишите меньший корень. Ответ: -27

Задание 12. Найдите корень уравнения . Ответ: -1

Задание 13. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 10 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 200 лит­ров она за­пол­ня­ет на 10 минут доль­ше, чем вто­рая труба? Ответ: 10.

Задание 14. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 255 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.Ответ: 16.

Задание 15. От при­ста­ни А к при­ста­ни В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 323 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 2 часа после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью, на 2 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.Ответ: 17.

Решение линейных неравенств

Линейным неравенством с одной переменной называются неравенства вида , где

Задание 16. Решите неравенство 7-(2х+1). Ответ:

Решение квадратных неравенств

Неравенства вида 0, называется квадратным или неравенством второй степени.

Задание 17. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства ? В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та. Ответ: 4

Задание 18. По­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му не­ра­вен­ству мно­же­ство его ре­ше­ний.

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

Ответ: 2413.

Задание 19. Решите неравенство 81х². Ответ: .

Задание 20. Решите неравенство 1280+120t-10t².

Решение неравенств методом интервалов.

Задание 21. Решите неравенство В ответ запишите наименьшее целое решение. Ответ:3

Задание 22. Решите неравенство. В ответ запишите наибольшее целое решение. Ответ:5

Задание 23.Найдите сумму целых решений неравенства (х+25)²(х²+3х-10). Ответ:-37

Задание 24. Найдите наибольшее целое решение неравенства Ответ:-2