Окружность. Круг. Углы в окружности. Хорды, секущие, касательные.

На этом занятии мы рассмотрим окружность, вписанные и центральные углы, свойства секущих и касательных, вспомним формулы для вычисления длины окружности и площади круга, площади сектора.  Разберем задания 3 и 6 из открытого банка заданий ЕГЭ

Конспект занятия "Окружность. Круг. Углы в окружности. Хорды, секущие, касательные."

Файл к занятию 6.

Занятие 6

  1. Проверка домашнего задания

Задание 7. Най­ди­те боль­шую диа­го­наль ромба, сто­ро­на ко­то­ро­го равна 11, а ост­рый угол равен 60°. Ответ: 33.


Ре­ше­ние.

Тупой угол ромба равен 180° − 60° = 120°. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

 

AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D; cos D= cos 120°= -0,5.

AC2=(110,5)=1089, AC=33

 

Ответ: 33.



Задание 8. Бис­сек­три­са ту­по­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну в от­но­ше­нии 4 : 3, счи­тая от вер­ши­ны остро­го угла. Най­ди­те боль­шую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма, если его пе­ри­метр равен 88. Ответ:28

Окружность. Круг. Вписанные и центральные углы.

Элементы окружности

Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).

Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Свойства вписанных углов
  • Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: 

  • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: .

  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Задание 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 13/36 окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ: 65

Задание 2. На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 120°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 82°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 79



Задание 3. Цен­траль­ный угол на 48° боль­ше остро­го впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу окруж­но­сти. Най­ди­те впи­сан­ный угол. Ответ дайте в гра­ду­сах. ( Ответ: 48)

Задание 4. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 33

Задание 5. Чему равен ост­рый впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на хорду, рав­ную ра­ди­у­су окруж­но­сти? Ответ дайте в гра­ду­сах. (Ответ: 30)


Задание 6. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Впи­сан­ный угол ACB равен 9. Най­ди­те цен­траль­ный угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.(Ответ: 162)

 


Задание7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Ответ: 35

Углы, связанные с окружностью.

  • Угол между пересекающимися хордами. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: .

  • Угол между секущими. Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

  • Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: .

  • Угол между касательной и секущей. Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: .

  • Угол между касательными.  Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

Задание 8. Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 118



Задание 9. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. (122)

Задание 10. Угол ACB равен 54°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. Ответ:15

Решение: - вписанный угол, который опирается на дугу DE. равен половине дуги, на которую он опирается. Найдем величину DE.

; . Ответ: 15


Хорды. Касательные. Секущие

Отрезки, связанные с окружностью
  • Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

  • Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная:

  • Свойство пересекающихся хорд. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная :

 

  • Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: .

Задание 11. К окружности с центром в точке О и радиусом 5 из точки А проведены две касательные (В и С- точки касания). Найдите градусную меру угла ВАС, если АВ= 5 Ответ дайте в градусах. Ответ:60

Задание 12. Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 12 и 20. Расстояние отданной точки до центра окружности равно 17. Найдите радиус окружности. Ответ: 7



Вписанные и описанные многоугольники.



Теоретический материал по треугольникам и четырехугольникам, вписанным в окружность или описанным около окружности, в файле к занятию 4 и 5. Окружность, вписанная в многоугольник .Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. Окружность, описанная около многоугольника. Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

Задание 13. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ:6

Задание 14 . На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ: 3,5

 

Задание 15. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 18,5



Задание 16 . Два угла вписанного в окружность четырёхугольника 
равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ:103

Задание 17. Най­ди­те сто­ро­ну пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен 17. Ответ: 34

Длина окружности. Площадь круга. Сектор. Площадь сектора

Длина окружности: C = 2RR — радиус окружности, D — диаметр.

Длина дуги окружности: C=  ,  α — градусная мера дуги окружности.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга: S = R² =.

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

Площадь сектора: S =.

Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.


Необходимо отметить, что в задачах связанных с вычислением площади сектора круга, пользоваться формулой S = нам не придется. Нам потребуется умение определять, какую часть круга составляет сектор. Обычно в таких задачах центральный угол сектора кратен 30 либо 45. Рассмотрим на примере.

Задание 18. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2. Найдите площадь закрашенного сектора. (1,5)

Решение : По рисунку видно, что незакрашенная часть круга составляет ¼ от площади круга. Следовательно, площадь закрашенного сектора составит ¾ от площади круга. ¾ Ответ: 1,5

 

Задание 19. Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 12. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора. Ответ:9



Задание 20. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ: 2,45


Задание 21. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 102

Решение :

1 способ:

Пусть размер клетки х. Тогда радиус внутреннего круга R1=1x,а радиус внешнего круга R2=2x. Запишем выражение для площади внутреннего и внешнего круга соответственно.S1==; S2==.

Найдем отношение площадей внешнего и внутреннего круга. .

Значит, площадь внешнего круга в 4 раза больше площади внутреннего круга. Найдем площадь внешнего круга: 34. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 136-34=102.

2 способ:

Анализируя решение 1 способом, мы видим, что отношение площадей кругов не зависит от размера клетки. Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. Ра­ди­ус внеш­не­го круга равен 2ед. , ра­ди­ус внут­рен­не­го равен 1ед.. Так как ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга в 4 раза больше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 34. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 136-34=102.

 

Задание 22. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ:288

Задание 23. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 48. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 27







Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

 

Задание 2

(2 балла)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.  Угол ABC равен 81°, угол ABD равен 44°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Задание 3

(2 балла)

Угол ACO равен 27°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Следующий урок на тему " Числа и вычисления. Степени и корни."