Файл к занятию 6.
Занятие 6
Проверка домашнего задания
Задание 7. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна 11, а острый угол равен 60°. Ответ: 33.
Решение.
Тупой угол ромба равен 180° − 60° = 120°. Воспользуемся теоремой косинусов:
AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D; cos D= cos 120°= -0,5.
AC2=(110,5)=1089, AC=33
Ответ: 33.
Задание 8. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88. Ответ:28
Окружность. Круг. Вписанные и центральные углы.
Элементы окружности
Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).
Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.
Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.
Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.
Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки.
Свойства вписанных углов
Задание 1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 13/36 окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ: 65
Задание 2. На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 120°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 82°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 79
Задание 3. Центральный угол на 48° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах. ( Ответ: 48)
Задание 4. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ: 33
Задание 5. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах. (Ответ: 30)
Задание 6. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Вписанный угол ACB равен 9. Найдите центральный угол AOD. Ответ дайте в градусах.(Ответ: 162)
Задание7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Ответ: 35
Углы, связанные с окружностью.
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: .
Задание 8. Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 118
Задание 9. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. (122)
Задание 10. Угол ACB равен 54°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. Ответ:15
Решение: - вписанный угол, который опирается на дугу DE. равен половине дуги, на которую он опирается. Найдем величину DE.
; . Ответ: 15
Хорды. Касательные. Секущие
Отрезки, связанные с окружностью
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Задание 11. К окружности с центром в точке О и радиусом 5 из точки А проведены две касательные (В и С- точки касания). Найдите градусную меру угла ВАС, если АВ= 5 Ответ дайте в градусах. Ответ:60
Задание 12. Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 12 и 20. Расстояние отданной точки до центра окружности равно 17. Найдите радиус окружности. Ответ: 7
Вписанные и описанные многоугольники.
Теоретический материал по треугольникам и четырехугольникам, вписанным в окружность или описанным около окружности, в файле к занятию 4 и 5. Окружность, вписанная в многоугольник .Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. Окружность, описанная около многоугольника. Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. Задание 13. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ:6
Задание 14 . На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ: 3,5
Задание 15. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 18,5
Задание 16 . Два угла вписанного в окружность четырёхугольника
равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Ответ:103
Задание 17. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 17. Ответ: 34
Длина окружности. Площадь круга. Сектор. Площадь сектора
Длина окружности: C = 2R, R — радиус окружности, D — диаметр.
Длина дуги окружности: C= , α — градусная мера дуги окружности.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
Площадь круга: S = R² =.
Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.
Площадь сектора: S =.
Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.
Необходимо отметить, что в задачах связанных с вычислением площади сектора круга, пользоваться формулой S = нам не придется. Нам потребуется умение определять, какую часть круга составляет сектор. Обычно в таких задачах центральный угол сектора кратен 30 либо 45. Рассмотрим на примере.
Задание 18. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2. Найдите площадь закрашенного сектора. (1,5)
Решение : По рисунку видно, что незакрашенная часть круга составляет ¼ от площади круга. Следовательно, площадь закрашенного сектора составит ¾ от площади круга. ¾ Ответ: 1,5
Задание 19. Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 12. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора. Ответ:9
Задание 20. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ: 2,45
Задание 21. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 102
Решение :
1 способ:
Пусть размер клетки х. Тогда радиус внутреннего круга R1=1x,а радиус внешнего круга R2=2x. Запишем выражение для площади внутреннего и внешнего круга соответственно.S1==; S2==.
Найдем отношение площадей внешнего и внутреннего круга. .
Значит, площадь внешнего круга в 4 раза больше площади внутреннего круга. Найдем площадь внешнего круга: 34. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 136-34=102.
2 способ:
Анализируя решение 1 способом, мы видим, что отношение площадей кругов не зависит от размера клетки. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 2ед. , радиус внутреннего равен 1ед.. Так как радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга в 4 раза больше площади меньшего. Следовательно, она равна 34. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 136-34=102.
Задание 22. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ:288
Задание 23. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 48. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 27