Стереометрия.

Файл к занятию 27

Решение геометрических задач. Стереометрия.

Площадь поверхности и объем многогранников

Площадь поверхности и объём призмы: S_полн = 2S_осн + S_бок ; V= S_осн

Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований:

S_бок = Р_осн

Площадь поверхности и объем пирамиды: S_полн = S_осн + S_бок; V= S_осн

Для правильной пирамиды: S_бок = Р_осн h_бок 

Задание 1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды. Ответ:3,5

Задание 2. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды. Ответ: 6

Задание 3. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: 288

Дополнительно.

1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=48, SС=73. Найдите длину отрезка АС. Ответ: 110

1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ:1152

Задание 4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 17, сторона основания равна 15.  Найдите объём пирамиды. Ответ: 1200

Устно: 1. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 3. Ответ: 7

2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 3,  а боковое ребро равно 9. Ответ: 9

Задание 5. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки А,В, С, В₁ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3. Ответ: 1.

Задание 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A1, C1, D1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11. Ответ: 66

Устно: В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1D и B1D1.  Ответ дайте в градусах. Ответ: 60

Дополнительно

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=8, CD=8, AD=14. Найдите длину диагонали BD1. Ответ: 18

Задание 7. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).  Ответ: 132

Задание 8. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые). Ответ: 15

Дополнительно.

• Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые). Ответ: 110.

• Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

 Ответ: 34.

Задание 9. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC. Ответ: 29

Задание 10. Площадь боковой поверхности треугольной призмы 
равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. Ответ: 37,5

Площадь поверхности и объем тел вращения

Цилиндр:

; ;

V=

;

V=

Задание 12. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра.  Ответ: 3

Задание 13. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. Ответ:12,6

Устно.

1. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней? Ответ: 25

2. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 256 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах. Ответ: 4

Задание 14. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 342

Дополнительно.

• Объем ко­ну­са равен 10. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем мень­ше­го ко­ну­са с той же вер­ши­ной. Най­ди­те объем мень­ше­го ко­ну­са. Ответ: 1,25.

• В сосуд, име­ю­щий форму ко­ну­са, на­ли­ли 25 мл жид­ко­сти до по­ло­ви­ны вы­со­ты со­су­да (см. ри­сунок). Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить в сосуд, чтобы за­пол­нить его до­вер­ху? Ответ: 175.

Комбинация многогранников и тел вращения

Задание 15. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ: 90,5

Задание 16. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра. Ответ:1

Задание 17.Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6.  Найдите его объём. Ответ: 1728

Задание 18. Шар впи­сан в ци­линдр объ­е­мом 42. Най­ди­те объем шара. Ответ: 28.

Задание 19. Куб впи­сан в шар ра­ди­у­са 6,5. Най­ди­те объем куба.
Ответ: 2197.