Файл к занятию 27
Решение геометрических задач. Стереометрия.
Площадь поверхности и объем многогранников
Площадь поверхности и объём призмы: Sполн = 2Sосн + Sбок ; V= Sосн
Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований:
Sбок = Росн
Площадь поверхности и объем пирамиды: Sполн = Sосн + Sбок; V= Sосн
Для правильной пирамиды: Sбок = Росн hбок
Задание 1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды. Ответ:3,5
Задание 2. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды. Ответ: 6
Задание 3. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: 288
Дополнительно.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=48, SС=73. Найдите длину отрезка АС. Ответ: 110
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ:1152
Задание 4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 17, сторона основания равна 15. Найдите объём пирамиды. Ответ: 1200
Устно: 1. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 3. Ответ: 7
2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9. Ответ: 9
Задание 5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А,В, С, В1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. Ответ: 1.
Задание 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A1, C1, D1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11. Ответ: 66
Устно: В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1D и B1D1. Ответ дайте в градусах. Ответ: 60
Дополнительно
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=8, CD=8, AD=14. Найдите длину диагонали BD1. Ответ: 18
Задание 7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ: 132
Задание 8. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые). Ответ: 15
Дополнительно.
Ответ: 34.
Задание 9. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC. Ответ: 29
Задание 10. Площадь боковой поверхности треугольной призмы
равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. Ответ: 37,5
Задание 11.Объём треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость (см. рисунок). Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды. Ответ: 19,5 | |
Площадь поверхности и объем тел вращения
Цилиндр:
; ;
V=
;
V=
Задание 12. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 3
Задание 13. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. Ответ:12,6
Устно.
1. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней? Ответ: 25
2. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 256 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах. Ответ: 4
Задание 14. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 342
Дополнительно.
Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ: 1,25.
В сосуд, имеющий форму конуса, налили 25 мл жидкости до половины высоты сосуда (см. рисунок). Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху? Ответ: 175.
Комбинация многогранников и тел вращения
Задание 15. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны 2/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ: 90,5
Задание 16. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра. Ответ:1
Задание 17.Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6. Найдите его объём. Ответ: 1728
Задание 18. Шар вписан в цилиндр объемом 42. Найдите объем шара. Ответ: 28.
Задание 19. Куб вписан в шар радиуса 6,5. Найдите объем куба.
Ответ: 2197.