Тождество. Определение тождества. Способы доказательства математических утверждений. Метод математической индукции.

Способы доказательства математических утверждений. Метод математической индукции.

Тождества. Тождественные преобразования. Правила

          Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.  

Тождествами являются числовые равенства вида 2=2, 2+3=5, 7−1=2·3, так как эти равенства являются верными. То есть, 2≡2, 2+3≡5 и 7−1≡2·3.
Вы уже познакомились со множеством тождеств, например, формулы сокращенного умножения:  

                            a ²−b ²   =   (a−b)(a+b) ;  

                            a ²−2ab+b ²   =   (a−b) ² ;  

                            a ²+2ab+b ²   =   (a+b) ²     и др.    

Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Для тождественных преобразований можно использовать формулы сокращенного умножения, законы арифметики и др. тождества.

В дальнейшем при преобразовании выражений мы будем заменять их тождественно равными.

Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти одно допустимое значение переменной, при которой получившиеся числовые выражения будут не равны друг другу.

Например:   при

Сегодня мы познакомимся с некоторыми тождествами, а точнее формулами сокращенного умножения. Квадрат и куб суммы и разности двух чисел вы уже знаете, а как действовать, если во вторую степень нужно возвести три и более слагаемых?

Выведем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы трех слагаемых:

Формула возведения в n-ю степень:

Числовые коэффициенты А можно взять из треугольника Паскаля:

А можно воспользоваться формулой бинома Ньютона:

где

Задачи к уроку:

1. Известно, что . Найдите

.

1. Докажите, что если .

1. Докажите, что из равенства следует равенство

1. Найдите сумму коэффициентов в разложении многочлена

1. Найдите коэффициент при в разложении

Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

1. P(1) является истинным предложением (утверждением);

2. P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).

Таким образом метод математической индукции предполагает три этапа:

1. Этап проверки: проверяется, истинно ли утверждение для n=1.

2. Предположение индукции: предположим, что утверждение верно для какого-то натурального k.

3. Этап доказательства: учитывая предположение, что утверждение верно для некоего k следует доказать, что оно верно и для k+1.

Замечание 1. В некоторых случаях используется метод частичной математической индукции, если требуется доказать, что утверждение верно не для всех натуральных чисел, а для ограниченного снизу множества, то есть для всех n ≥ m. Тогда доказательство проходит в те же этапы, но в первом пункте проверяем истинность утверждение для минимального значения, то есть для n=m.

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

1. Доказать, что для любого натурального n выражение делится на 3.

2. Доказать, что n(2n² - 3n + 1)   делится на 6

3. Доказать, что 6^2n-2 + 3ⁿ⁺¹ + 3^n-1 делится на 11.

4. Доказать, что сумма первых n натуральных чисел равна .

1. Доказать, что сумма первых n натуральных нечётных чисел равна квадрату их числа.

1. Доказать формулы:

1. Найти сумму.

2. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство

.