Неравенства. Доказательства неравенств. Задачи олимпиад.

Неравенства. Свойства неравенств. Задачи олимпиад.

1. Определение: Говорят, что действительное число a больше (меньше) действительного числа b, если их разность a-b –положительное (отрицательное) число.

2. Свойства:

   1. Если ab и bc, то ac.

   2. Если ab , то a+cb+c.

   3. Если ab и m0, то ambm.

   4. Если ab и mambm.

   5. Если ab и bc, то ac.

   6. Если ab и cd, то a+cb+d.

   7. Если ab и cd, то acbd, a,b,c,d0.

   8. Если ab , то aⁿbⁿ ,a,b 0,.

   9. Если ab , то aⁿbⁿ ,n-нечетное.

Провести доказательства некоторых свойств.

1. Классические неравенства:

_{Неравенство об обратных величинах:}

Среднее арифметическое:

Среднее геометрическое:

Среднее гармоническое

Среднее квадратичное

Неравенство о средних:

При этом неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим называют неравенством Коши.

Неравенство Коши – Буняковского

Для любых действительных чисел выполняется неравенство:

Равенство в (4) имеет место тогда и только тогда, когда числа и пропорциональны, то есть существуют такие числа и , что и для всех k=1,2,…,n выполняется равенство

.

Основные методы доказательства неравенств

I. Доказательство неравенств с помощью определения

Для доказательства неравенства этим способом на заданном множестве значений переменных a, b, c, …, z составляют разность и доказывают, что она положительна при всех значениях переменных.

Пример 1. (Неравенство Коши)

Доказать, что при всех выполняется неравенство

(1)

Доказательство. Составим разность и выясним ее знак. Имеем: . Выражение неотрицательно при любых значениях (условия определяют существование и), причем знак равенства имеет место лишь при a=b. То есть , а это означает, что , ч.т.д.

Пример 2. Доказать, что если , то

(2)

Доказательство. Имеем: . Так как , то , причем знак равенства имеет место лишь при a=b. Таким образом, разность неотрицательна и неравенство (2) доказано.

II. Синтетический метод доказательства неравенств

Суть этого метода заключается в том, что с помощью различных преобразований доказываемое неравенство выводят из некоторых опорных (известных) неравенств. В качестве опорных можно использовать следующие неравенства:

а) ,

б) неравенство Коши (1),

в) , при , которое является следствием (2),

г) при ,

д) для всех чисел a и b.

Пример 3. Доказать, что для любых чисел a, b и c имеет место неравенство

(3)

Доказательство. В качестве опорных, выберем неравенства

, ,

Сложим почленно эти неравенства, а затем разделим обе части полученного неравенства на два. Получим нужное нам неравенство.

Пример 4. Доказать, что для любых неотрицательных чисел a, b, c, d имеет место неравенство

.

Доказательство. Воспользуемся в качестве опорных неравенствами Коши и . Тогда получим:

, ч.т.д.

III. Доказательство методом «от противного»

Метод доказательства «от противного» высказывания «из А следует В» применяют в следующей форме: считают истинным высказывание «не выполняется В» и пытаются вывести отсюда справедливость высказывания «не выполняется А». Если это удается, то получается противоречие, из которого следует, что предположение о неверности А – ошибочно. Покажем, как этот метод применяется при доказательстве неравенств.

Пример 5. Доказать, что для любого числа а выполняется неравенство

.

Доказательство. Предположим противное, что для некоторого числа а рассматриваемое неравенство неверно, то есть имеет место неравенство:

. По свойству 3 можно умножить обе части неравенства на положительное число , при этом знак неравенства не изменится: . По свойству 2 можно вычесть из обеих частей неравенства выражение . После преобразований правой части получим:

, то есть . Последнее неравенство не выполняется ни при каком значении а, так как правая часть неравенства не может принимать отрицательные значения. Полученное противоречие доказывает верность исходного неравенства.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Докажите, что для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство .

Указание: Перенести все члены в левую часть, преобразовать и определить знак полученного выражения.

1. Доказать, что для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство

Указание: Перенести все члены в левую часть, преобразовать и определить знак полученного выражения.

1. Докажите, что если , и , то выполняется неравенство

Указание: Перенести все члены в левую часть, преобразовать и определить знак полученного выражения.

1. Доказать, что если , то верно неравенство

Указание: Обозначить и использовать в качестве опорного неравенство (3).

1. Доказать, что для любых положительных чисел a, b и c выполняется неравенство

Указание: Воспользоваться три раза неравенством (1), где в качестве слагаемых взять, соответственно, , в первом неравенстве, , во втором неравенстве и , в третьем неравенстве.

1. Доказать, что для любых положительных чисел a, b и c выполняется неравенство

Указание: Воспользоваться в качестве опорного неравенством Коши - Буняковского.

1. Доказать, что если , то верно неравенство

Указание: доказательство провести методом от противного. Возвести обе части в квадрат и получить противоречие с неравенством Коши.

1. Доказать, что при верно неравенство

.

Указание: доказательство провести методом от противного. Возвести обе части в квадрат и после преобразований сравнить знак левой и правой частей неравенства.

1. Доказать, что при верно неравенство

Указание: доказательство провести методом математической индукции.

1. Доказать, что при верно неравенство

Указание: доказательство провести методом математической индукции.

Дополнительные задачи:

11. Доказать неравенство

12. Доказать, что при любых значениях  x и y верно неравенство

Доказательство неравенств путем преобразования очевидного или известного классического неравенства  к виду доказываемого неравенства.

13. Доказать неравенство

если a, b, c — неотрицательные числа.

14. Доказать, что

если a,b,c  — неотрицательные числа.

15. Доказать неравенство: ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

16.

17. Доказать неравенство:

18. Докажем, что (a+b)(ab+1)  4ab, при а0, b0.

19. Доказать неравенство: 

20. Докажите неравенства:

21. Докажите справедливость неравенства: