Неравенство треугольника. Геометрические неравенства.

На этом занятии мы продолжим работать с неравенствами и посмотрим, как неравенства помогают решать геометрические задачи и как геометрия помогает в доказательстве алгебраических неравенств.

Конспект занятия "Неравенство треугольника. Геометрические неравенства."

Геометрические неравенства.

При изучении математики ученикам часто приходится сталкиваться с решением неравенств. Одними из наиболее сложных видов неравенств являются геометрические. В школе на их решение отводится не достаточное количество времени, поэтому при работе с подобными неравенствами у учеников возникают трудности. Однако на вступительных экзаменах в ВУЗы и на математических олимпиадах такого рода задания можно встретить достаточно часто. Рассмотрим некоторые из них.

Неравенство треугольника

Теорема (неравенство треугольника):

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Замечание. Иногда используют также и несколько другую формулировку этой теоремы, подключая попутно и случай вырожденного треугольника:

Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон.

Заметим, что разница между двумя приведенными формулировками столь незначительна, что нет смысла рассматривать их отдельно. В дальнейшем при решении задач мы будем использовать как первую формулировку теоремы, так и вторую, не оговаривая это отдельно.

Неравенство треугольника возникло, судя по всему, тогда же, когда человек научился ходить и хоть как-то мыслить. Известно, что одну из первых его формализаций приводит Евклид в знаменитых «Началах». Там он доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из нее выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Вот такая вот непростая логическая цепочка для доказательства вполне очевидного, казалось бы, неравенства!

Рис. 1

Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB AC + BC. При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления).

В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD, равный AC. В равнобедренном треугольнике ACD . В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD, значит, BD  AB, или BC + CD  AB. Но CD = AC, значит, AC + BC  AB.

Замечание. Обратите внимание, что, исходя из формулировки теоремы, следует записать сразу три неравенства:

AB AC + BC;

AC AB + BC;

BC AB + AC.

Нередко, записав одно неравенство, о двух других почему-то забывают. Помните, что это может привести к довольно неприятным ошибкам.

Неравенство треугольника может служить одним из простых критериев принадлежности трех точек одной прямой. Три точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника достигается равенство. Естественно, равенство может достигаться лишь в одном из трех неравенств (см. замечание), поскольку одна из точек будет лежать четко между двумя другими.

  1. Докажите, что в треугольнике каждая сторона больше разности двух других сторон.

Приведем в качестве примера использования неравенства треугольника несколько сравнительно несложных геометрических задач.

  1. В треугольнике длины двух сторон равны 5, 27 и 2, 79. Какой может быть длина третьей стороны, если известно, что она является целым числом. 

  2. Докажите, что в произвольном четырехугольнике ABCD AB + CD AC + BD.

  3. Докажите, что в треугольнике ABC выполнено неравенство

 (abc – стороны треугольника ABC).

  1. Докажите, что медиана AM в произвольном треугольнике ABC по длине меньше, чем .

  2. На плоскости дан квадрат ABCD и точка O. Докажите, что расстояние от точки O до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от O до трех других вершин квадрата.

  3. ab и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что  a = y + zb = x + z и c = x + y, где xy и z — положительные числа. 

  4. Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a3 + b3 + 3abc c3.

  5. ab и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что  a2 + b2 + c2 ab + bc + ca). 

  6. ab и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc  a3 + b3 + c3.

  1. ab и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

  + 3.

  1. a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство

  2. a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что

.


  1. ab и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c abc.


  1. ab и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a 0.

  1. Длины двух сторон треугольника a и b удовлетворяют условию a b, а длины соответствующих им высот равны ha и hb.

Доказать неравенство a + ha ≥ b + hb и определить, когда достигается равенство.



  1. Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
      а) не больше ¾ 
    P, где P – периметр этого треугольника; 
      б) не меньше ¾ 
    p, где p – полупериметр этого треугольника.


  1. Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке , причем  AOC=60o . Докажите, что AC+BD1 

Решение

Построим отрезок CB1 так, что четырехугольник ABB1– параллелограмм, тогда AC=BB1 . Из треугольника BB1получаем, что BB1+BD B1и, следовательно, AC+BD B1. Остается заметить, что треугольник CB1равносторонний ( CD=CB1=1 , а  B1CD= AOC=60o ), и, значит, B1D=1 . Таким образом, получаем AC+BD1 

  1. Точки  C1A1B1 взяты на сторонах ABBCCA треугольника ABC так, что  BA1 =  . BCCB1 =  . CAAC1 =  . AB, причем  1/2  P треугольника ABC и периметр P1 треугольника A1B1C1 связаны неравенствами  (2-1)P P1 P

Решение

Возьмем на сторонах ABBCCA точки C2A2B2 так, что A1B2ABB1C2BCC1A2CA (рис.). Тогда  A1B1 A1B2 + B2B1 = (1 - )AB + (2 - 1)CA. Аналогично  B1C1 )BC + (2 - 1)AB и  C1A1 )CA + (2 - 1)BC. Складывая эти неравенства, получаем  P1 P
Ясно, что  A1B1 + A1C  B1C, т. е.  A1B1 + (1 - )BC   . CA. Аналогично  B1C1 + (1 - )CA   . AB и  C1A1 + (1 - )AB   . BC. Складывая эти неравенства, получаем  P1  (2 - 1)P

2


Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35? 

В ответе укажите только число, без пробелов и знаков препинания.

Задание 2

(3 балла)

В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?

В ответе укажите число, увеличенное в 10 раз, без пробелов и знаков препинания.

Задание 3

(3 балла)

В треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом. 

В ответе укажите только число, без пробелов и знаков препинания.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к олимпиадам 2017"