Уравнения с целой и дробной частью числа.
Сегодня мы поговорим о целой и дробной части числа, рассмотрим их свойства и научимся решать задачи с целой и дробной частью графическим и аналитическим методом.
Конспект занятия "Уравнения с целой и дробной частью числа."
Целой частью числа x (обозначаем [x]) называется наибольшее целое число, не превосходящее данного числа, то есть, удовлетворяющее неравенству: [x] ≤ x. Например, [5,2] = 5 (читаем: целая часть числа 5,2 равна 5); [-0,1] = -1.
Построим график функции y =[x].
Заметим, что для целых значений переменной x справедливо равенство: [x] =x . Если x – дробное число, то x удовлетворяет неравенству [x] x [x]+1 . То есть, для любого x выполняется неравенство: [x] ≤ x [x]+1. Если 0 ≤x 1, то y = 0 ; если 1 ≤ x y =1 ; если p ≤ x p +1 , где p - любое целое число, то y = p . Изображаем график: y =[x]:
Дробной частью числа x , которую обозначаем как {x}, называется разность между числом x и его целой частью [x], то есть, {x}= x – [x]. Например:
{6,4}= 6,4-[6,4] = 6,4 – 6 = 0,4. (Читаем: дробная часть числа 6,4 равна 0,4);
{11} = 11 – [11] = 0; {-3,8} = -3,8 – [-3,8] = -3,8 – (-4) = 0,2 .
Какие значения может принимать выражение {x} для любого значения x?
Так как {x} = x – [x] 1, то 0 ≤{x}1.
Построить график функции y = {x}.
При x€ [0;1) {x} = x, тогда y ={x}=x , то есть, на данном промежутке графиком будет часть прямой y = x. При x€[1; 2), тогда y = x +1.
То есть на этом промежутке графиком функции будет часть прямой y = x +1. И так далее. На промежутке x€ [p; p +1), где p - целое, графиком будет часть прямой y = x + p.
Уравнения и неравенства вида [(𝑥)]∨ 𝑎
Уравнения и неравенства вида {(𝑥)}∨ α
Задачи к теме:
Найти [25,8]; [0,75]; [-1]; [-2,74]; [-3,8].
Решить уравнения: а)[x + 2,5] = 5, б) [x - 0,8] = 0,
в) x + [0,75] = 3, г) [x] + 1 = -7,3.
Решить уравнения с дробной частью числа:
а) 
б) x={x}; в) {-2x}=0,3.
Решить уравнение:
Решить уравнение графическим методом:
.
Решить уравнение методом замены:
.
Решить уравнение методом замены и с использованием свойств целых частей:
.Найти наименьшее натуральное число m, для которого
Найти число корней уравнения 19[x] + 97 {x} = 1997
Решить систему:
Решить систему уравнений:
Решить уравнение
Задания по теме для самостоятельного решения
Задание 1
(3 балла)Решите уравнение. В ответе укажите сумму корней уравнения, увеличенную в 15 раз.
Задание 2
(3 балла)Решите уравнение. В ответе укажите количество корней уравнения.
Задание 3
(3 балла)Решить уравнение
В ответе укажите количество целых решений.