Уравнения в целых числах

Файл к уроку 8

Уравнения в целых числах.

Диофант и история диофантовых уравнений.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.

1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , НОД , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , НОД  и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , НОД  и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х₀, у₀ – целое решение уравнения ,  - любое целое число.

Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b, 

если  и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если  и , то

1. Разделить почленно уравнение  на , получив при этом уравнение , в котором .

2. Найти целое решение (х₀, у₀) уравнения  путем представления 1 как линейной комбинации чисел  и ;

3. Составить общую формулу целых решений данного уравнения 

где х₀, у₀ – целое решение уравнения ,  - любое целое число.

Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Метод полного перебора.

2. Метод разложения на множители.

3. Выделение целой части и оценка дроби.

4. Выделение полного квадрата.

5. Решение уравнения с двумя переменными как квадратное относительно одной из переменных и др.

Задачи по теме:

1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями решения: 49x + 51y = 602.

Решение: Выразим из уравнения переменную х через у, получим: . Так как x и y – натуральные числа, то , тогда , отуда . Возможные значения у от 1 до 10. Перебором убеждаемся, что единственное решение у = 7, тогда х = 5. Ответ: (5; 7)

1. Решить в целых числах уравнение: 13x+41y=8

Решение: Вновь выразим одну переменную через другую, получим:

Чтобы решение было в целых числах, нужно, чтобы дробь была целым числом. Так как в числителе стоит четное число, а в знаменателе нечетное, то обозначим , где . Выразим через t у и х:

Ответ: (-12+41t; 4-13t), t.

1. Решить в натуральных числах уравнение: .

Решение: снова используем метод полного перебора. Рассмотрим левую часть уравнения. При левая часть будет содержать множитель от 1 до 5, и заканчиваться на 0. Посмотрим, при каких значениях y справа тоже может стоять число, оканчивающееся на 0. Рассмотрим таблицу:

Видим, что получить такое число ни при каких у нам не удастся, остается рассмотреть 4 значения х и подобрать для них у:

Как видим, единственным натуральным решением будет х = 4, у = 6.

Ответ: (4; 6).

1. Решить в целых числах уравнение x² + 1 = 3y.

Решение: это еще один из вариантов перебора всех случаев. Выражение справа делится на 3. Рассмотрим выражение слева на предмет делимости на 3. Как мы знаем, число при делении на 3 может давать остатки 0, 1 и 2. Это же число в квадрате может давать остатки только 0 или 1. Тогда х²+1 не делится на 3 ни при каком значении х. А значит уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

1. Решить уравнение в натуральных числах:

Решение: Здесь используем метод разложения на множители. Преобразовав уравнение, получим: , или . Число 23 – простое, возможны варианты: разность равна -1, сумма 23.

Ответ: (11; 12)

1. Решить в целых числах уравнение: x + y = xy.

Подсказка: Используем метод разложения на множители.

Ответ: (2;2), (0;0).

1. Найти все целочисленные решения уравнения:

Решение: Используем метод выделения полных квадратов: Представим число 29 в виде двух слагаемых, являющихся полными квадратами, и при этом одно их них красно 4. Перебором убеждаемся, что это 4 и 25. Тогда

Ответ:

1. Решить в целых числах уравнение:

Решение: используем метод оценки. Разделим первую скобку на х, вторую на у, получим: . Применим неравенство Коши: . Равенство в неравенстве Коши возможно только при a = b. Тогда х = 2, у = 1, или х = -2, у = -1.

Ответ: (2;1), (-2;-1).

1. Решить в целых числах уравнение

Подсказка: Попробуйте рассмотреть уравнение как квадратное относительно х с параметром у.

Ответ: (-1; -1).

1. Решить уравнение в целых числах:

Подсказка: Выразить у через х и перебрать все возможные варианты.

Ответ: (2;-2), (0; -2).

1. Решить в целых числах уравнение: .

Ответ: (-10+97t; 2-19t) t – целое число.

1. Решить в целых числах: .

Ответ: (1750; -18), (-1944; -20), (-96; 1828), (-98; -1866).

1. Решить в целых числах уравнение: .

1. Решить в целых числах уравнение .

2. Решить уравнение в целых числах: 2х²-2ху +9х+у=2

3. Решить в натуральных числах уравнение: , где тп.

4. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

5. Найдите все пары (х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств: