Задача 18 (С 5) Параметры. Уравнения с параметром.

Решение уравнений с параметрами.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2-3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Линейные уравнения с параметрами.

Уравнение вида

где a, b О R, x - переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Уравнение равносильно уравнению

ax = -b

откуда следует следующее утверждение.

1. Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x = -^b/_a;

2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения пусто;

3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения.

Решить уравнение с параметром – значит указать решение при всех значениях параметра.

Пример 1. Решить уравнение: a²x - 1 = x + a.

Пример 2. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:

Пример 3. При каких значениях параметра а неравенство имеет решением все действительные числа:

Системы линейных уравнений с параметрами.

– Система имеет единственное решение.

– Система имеет бесконечное множество решений.

– Система не имеет решений.

Пример 4. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Квадратичные уравнения с параметрами.

Уравнения второй степени с параметрами зависят от дискриминанта и направления ветвей параболы, задаваемой квадратным трехчленом.

Квадратное уравнение может не иметь решений (Da=0 или D=0), два решения (D0) или бесконечное множество решений (когда при каком-то значении параметра получаем 0=0).

Пример 5. Решить уравнение в зависимости от параметра а:

Пример 6. Найти значения параметра а, при которых среди корней уравнения имеется ровно один отрицательный:

Пример 5: При каких значениях m корни уравнения 4x²-(3m+1)x-m-2=0 лежат в промежутке между -1 и 2?

Пример 7: Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x²+(a+1)x+3=0 лежал в интервале (-1; 3)

Пример 8. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных отрицательных корня:

Пример 9. Найти все значения а, при каждом из которых система имеет ровно два различных решения:

Пример 10. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не имеет решений.

Это был аналитический метод. Рассмотрим еще один метод решения уравнений с параметром.

Графический метод.

В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у) или в плоскости (х;а)

Пример 11. Для каждого значения параметра а определите количество решений уравнения .