Конспект занятия "Задача 16 (С 4). Планиметрия. Геометрия треугольника."
Планиметрия
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — середина стороны АВ. Отрезок СЕ и АК пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что треугольники ВРС и АРС имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 120.
В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность, которая касается гипотенузы АВ в точке К, а катетов в точках Р и М. а) Доказать, что площадь треугольника АВС равна произведению АК и КВ; б) Найти площадь треугольника РКМ, если АК=12, ВК=5.
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
а) докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри отрезка.
В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 60 градусов, угол АВС равен 45 градусов. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. а) Докажите, что треугольник MNP - прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС=12.
В равнобедренном треугольнике ABC AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.
б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.
Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне АВ.
Дан треугольник ABC, где BA = 5, BC = 8. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке Р. Известно, что ВР = 3. Найдите площадь треугольника ВМР, где М — точка касания окружности со стороной треугольника АВС.
Дан треугольник АВС, в котором АС = СВ, а синус угла С равен 1. Треугольник ABD — равнобедренный, с боковой стороной равной 10. Найдите площадь треугольника АВС.
В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.
Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.
В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.
а) Найдите величину угла ВАС;
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.
В треугольнике АВС основание ВС = 9,5, площадь треугольника равна 28,5. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.
а) Докажите, что АС + АВ = 3ВС.
б) Найдите меньшую из боковых сторон.
Дан прямоугольный треугольник АВС, с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12 ). Пусть точка I– центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку I, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.
Дан треугольник АВС, в котором В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.