Задача 16 (С 4). Планиметрия. Геометрия треугольника.

Занятие посвящено планиметрии, на нем  мы поговорим о треугольнике: рассмотрим свойства биссектрисы, медианы и высоты, соотношения в треугольнике, поговорим о площади. Повторим теоремы синусов и косинусов, теорему Пифагора.

Конспект занятия "Задача 16 (С 4). Планиметрия. Геометрия треугольника."

Планиметрия

  1. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 12. На пря­мой АС взята точка D так, что точка С яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка AD. Точка K — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, пря­мая KD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке L.

a) До­ка­жи­те, что BL : LC = 2 : 1.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BLK.


  1. В тре­уголь­ни­ке АВС на сто­роне ВС вы­бра­на точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — се­ре­ди­на сто­ро­ны АВ. От­ре­зок СЕ и АК пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ВРС и АРС имеют рав­ные пло­ща­ди.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВР, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 120.


  1. В прямоугольный треугольник АВС вписана окружность, которая касается гипотенузы АВ в точке К, а катетов в точках Р и М. а) Доказать, что площадь треугольника АВС равна произведению АК и КВ; б) Найти площадь треугольника РКМ, если АК=12, ВК=5.


  1. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.

а) докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри отрезка.


  1. В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 60 градусов, угол АВС равен 45 градусов. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. а) Докажите, что треугольник MNP - прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС=12.


  1. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC AC — ос­но­ва­ние. На про­дол­же­нии сто­ро­ны CB за точку В от­ме­че­на точка D так, что угол CAD равен углу ABD.

а) До­ка­жи­те, что AB бис­сек­три­са угла CAD.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка AD, если бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка АВС равна 5, а его ос­но­ва­ние равно 6.


  1. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AM и CN.

А) До­ка­жи­те, что углы ACB и MNB равны.

Б) Вы­чис­ли­те длину сто­ро­ны АС, если из­вест­но, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен 25 см, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка BMN равен 15 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка BMN равен 3 см.


  1. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна 72, а сумма длин сто­рон АС и ВС равна 24.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, впи­сан­но­го в тре­уголь­ник АВС, если из­вест­но, что две вер­ши­ны этого квад­ра­та лежат на сто­ро­не АВ.

  1. Дан тре­уголь­ник ABC, где BA = 5, BC = 8. В тре­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны BC в точке Р. Из­вест­но, что ВР = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ВМР, где М — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка АВС.


  1. Дан тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром АС = СВ, а синус угла С равен 1. Тре­уголь­ник ABD — рав­но­бед­рен­ный, с бо­ко­вой сто­ро­ной рав­ной 10. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.


  1. В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са CM, ка­са­тель­ная к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, про­хо­дя­щая через точку C, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке P.

А) До­ка­жи­те, что BC : AC = CP : AP.

Б) Най­ди­те длину CP, если из­вест­но, что AM = 5, BM = 4.

 

  1. В тре­уголь­ни­ке ABC угол В пря­мой, точка М лежит на сто­ро­не АС, при­чем  Ве­ли­чи­на угла АВМ равна 60 гра­ду­сам, BM = 8.

а) Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ВАС;

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных во­круг тре­уголь­ни­ков ВСМ и ВАМ.


  1. В тре­уголь­ни­ке АВС ос­но­ва­ние ВС = 9,5, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна 28,5. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, ка­са­ет­ся сред­ней линии, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию.

а) До­ка­жи­те, что АС + АВ = 3ВС.

б) Най­ди­те мень­шую из бо­ко­вых сто­рон.


  1. Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС, с ка­те­та­ми АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12 ). Пусть точка I– центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку I, па­рал­лель­на одной из сто­рон тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет две дру­гие сто­ро­ны в точ­ках К и Р. Най­ди­те длину от­рез­ка КР.

  2. Дан тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром  В тре­уголь­ник впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон AC, CB, BA в точ­ках K, T и M со­от­вет­ствен­но. Пря­мая AT пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L, при­чем AL = 2. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, одна из сто­рон ко­то­ро­го AT, а дру­гая со­дер­жит точку ка­са­ния окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка АВС, если AK = 4.


Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите отношение внешних углов треугольника. В ответ запишите отношение в порядке возрастания углов, используя числа и двоеточие без пробелов и запятых.

Задание 2

(3 балла)

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 9, катет BC равен 3. На гипотенузе взята точка M, причём AM : MB = 1 : 2. Найдите CM. В ответ запишите .

Задание 3

(3 балла)

Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика (профильный) Подготовка к ЕГЭ, (бывшая С) 2016"
Предыдущий урок на тему " Задача 17. Текстовые задачи."