Задача 16 (С 4). Планиметрия. Четырехугольники.

Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства.

В школьных задачах по геометрии мы обычно рассматриваем выпуклые четырехугольники.

В чем разница между ними? Если любые две точки выпуклого многоугольника соединить отрезком — весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклых фигур это не выполняется.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Произвольные четырехугольники в задачах по геометрии встречаются редко. Намного чаще — такие, у которых есть параллельные стороны. Это параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник и трапеция.

Здесь в таблице собраны их определения и свойства.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание на доказательство):

1. Бис­сек­три­са угла ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке E. В тре­уголь­ник ADE впи­са­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AE в точке K и сто­ро­ны AD в точке T.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KT и DE па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те угол BAD, если из­вест­но, что AD = 6 и KT = 3.

1. На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а) До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

1. Диа­го­наль AC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD с цен­тром O об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 30°. Точка E лежит вне пря­мо­уголь­ни­ка, причём 

а) До­ка­жи­те, что 

б) Пря­мая OE пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD пря­мо­уголь­ни­ка в точке K. Най­ди­те EK, если из­вест­но, что BE = 40 и CE = 24.