Задача 13 (С 1).Тригонометрические уравнения.

Тригонометрические уравнения. Основные методы решений

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. 

Простейшие тригонометрические уравнения.

Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы:

• разложение на множители;

• способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);

• сведение к уравнениям, однородным относительно  и ;

• преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;

• преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;

• использование формул понижения степени;

• равенство одноименных тригонометрических функций;

• равенство одноименных тригонометрических функций

• введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.

Способ замены

Данным методом решаются уравнения вида   ,  . Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены или  Уравнения  не являются с виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:  .

При решении уравнений этим методом необходимо знать формулы:

Пример 1. Решить уравнение .

Пример 2. Решить уравнение .

 Однородные уравнения

Уравнения:

,

                                      ,                                     

,

 называются однородными относительно  и . Они обладают тем свойством, что сумма показаний степеней при  и у всех членов уравнения одинакова. Делением на  соответственно уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям относительно . При этом, конечно, предполагается, что коэффициент . В результате получаем равносильное уравнение, так как разделили на  (если бы , то из исходного уравнения следует, что и, а это невозможно, так как  и  при одном и том же значении х в нуль не обращаются, ибо всегда).

Уравнение  легко сводится к однородному, если правую часть представить в виде. После очевидных преобразований получаем

.

Пример 3. Решить уравнение:

.

Разложение на множители

При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы и дополнительно:

 Пример 4. Решить уравнение .

Пример 5. Решить уравнение .

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример 6. Решить уравнение .

 Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример 7. Решить уравнение .

Использование формул понижения степени

При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример 8. Решить уравнение:

.

Равенство одноименных тригонометрических функций

Данным методом решаются уравнения вида .

Теорема 1. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий

.

Теорема 2. Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из условий

.

Теорема 3. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно, одновременное выполнение двух условий

.

Пример 9. Решить уравнение .

Введение вспомогательного аргумента

Метод основан на преобразовании выражения , где a и b – постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно.

Введем угол , положив

.

Тогда:

,

где  находится из уравнения .

Пример 10. Решить уравнение .

Уравнение, рассмотренное в последнем примере, имеет вид   Однако решить такие уравнения можно и другими методами.

Метод рационализации для уравнения вида 

Известно, что если , то  выражаются рационально через .

Вводим вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно вспомогательного неизвестного.

Данное уравнение можно переписать в виде

.

Положим , тогда получим

.

Решим данное уравнение и получим следующие ответы

1. если , то у уравнения нет корней;

2. если , то ;

3. если , то .

Пример 11. Решить уравнение .

Приведение к однородному  для уравнения вида 

Данное уравнение перепишем в виде

,

т.е. имеем однородное уравнение

.

 Задачи для самостоятельного разбора:

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение .

.

1. Решите уравнение:

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение .

4. Решить уравнение

Демо егэ 2016

7. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

8. а) Решите уравнение .

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

9. а) Решите уравнение .

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .