Решение геометрических задач.

На этом занятии мы рассмотрим решение задач 3, 6, 8 из открытого банка заданий ЕГЭ.

Конспект занятия "Решение геометрических задач."

Файл к занятию 16.

Решение заданий по геометрии

Проверка домашнего задания

Задание 7. Найдите значение выражения . Ответ: -21

Задание 8. Найдите значение выражения . Ответ: -6

Задание 9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния. Ответ: 25

Задание 10. Ре­ши­те урав­не­ние . Ответ: −2.

Самостоятельная работа

Задание 1. Най­ди­те tg , если sin .

Задание 2. Найдите значение выражения 

Задание 3. Найдите значение выражения

Задание 4. Найдите значение выражения 4

Прямоугольный треугольник. Основы тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество.

При решении задач, связанных с прямоугольным треугольником, необходимо помнить теорему Пифагора, определение синуса, косинуса, тангенса, основное тригонометрическое тождество, формулы для вычисления R, r, S.

Теорема Пифагора: .В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Решение прямоугольного треугольника:

;

Основное тригонометрическое тождество:.

Помним, что: 1) синусы равных углов равны; 2)синусы смежных углов равны, т. е. sin cos тупого угла всегда меньше 0!

Задание 1. В треугольнике ABC AB=BC, AC=14, высота CH равна 7.Найдите синус угла ACB. Ответ: 0,5

Задание 2. В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 9,6, cosA=.  Найдите AC. Ответ: 10

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус этого угла.

А) В)



Задание 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите косинус этого угла.

А) В)


Площадь треугольника

  • Площадь треугольника равна: 

  • Площадь треугольника равна: 

  • Формула Герона: 

  • Площадь треугольника равна: 

  • Площадь треугольника равна:S

Помним, площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: , а периметры, как коэффициент подобия.



Задание 5. В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24.  Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: 96

Площадь четырехугольника

  • Любой четырехугольник можно разбить на треугольники, и его площадь будет равна сумме площадей треугольников.

  • Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна: .

  • Если диагонали выпуклого четырехугольника равны  и  и образуют угол , то площадь четырехугольника равна: .

Площадь ромба равна: . Площадь квадрата: .

  • Площадь прямоугольника: .

  • Площадь параллелограмма: .

  • Площадь трапеции: .

Задание 6. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Ответ: 12



Задание 7. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 1,2. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ: 0,75

Задание 8. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 288

Задание 9. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1 ; 14), (5 ; 16), (5 ; 22). Ответ: 12

Задание 10. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ:20

Задание 11. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 30

Свойства вписанных углов
  • Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: 

  • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: .

  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Устно: Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ: 36

Заданине12. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.Ответ:33

Задание 13. Угол ACO равен 27°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ:63

Задание 14. Угол ACB равен 54°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. Ответ:15

Задание 15. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ:122





Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Ответ:35

Задание 17. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Ответ:55

Задание 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.Ответ:4,5

Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ: 6




Площадь поверхности и объем многогранников

Площадь поверхности и объём призмы: Sполн = 2Sосн + Sбок ; V= Sосн

Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований:

Sбок = Росн

Площадь поверхности и объем пирамиды: Sполн = Sосн + Sбок; V= Sосн

Для правильной пирамиды: Sбок = Росн hбок 

Задание 20. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.Ответ:3,5

Задание 21. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: 288

Задание 22. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 17, сторона основания равна 15.  Найдите объём пирамиды. Ответ: 1200

Задание 23. Площадь боковой поверхности треугольной призмы 
равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. Ответ:37,5


Задание 24. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки А,В, С, В1 пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3. Ответ: 1.



 

Задание 25. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A1, C1, D1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11. Ответ: 66

Площадь поверхности и объем тел вращения

Цилиндр:

; ;

V=

Конус:


;

V=

Задание 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра.  Ответ: 3

Задание 27. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. Ответ:12,6

Задание 28. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 342

Комбинация многогранников и тел вращения

Задание 29. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы 
равны 2π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ: 90,5

 

Задание 30. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра. Ответ:1

Задание 31. Шар впи­сан в ци­линдр объ­е­мом 42. Най­ди­те объем шара. Ответ: 28.



Дополнительно. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.



Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=28.  Найдите cosA.

Задание 2

(2 балла)

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Задание 3

(2 балла)

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, вы­со­та CH равна 20, BC = 25. Най­ди­те sinA.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Следующий урок на тему " Теория вероятностей."