Файл к занятию 16.
Решение заданий по геометрии
Проверка домашнего задания
Задание 7. Найдите значение выражения . Ответ: -21
Задание 8. Найдите значение выражения . Ответ: -6
Задание 9. Найдите значение выражения. Ответ: 25
Задание 10. Решите уравнение . Ответ: −2.
Самостоятельная работа
Задание 1. Найдите tg , если sin .
Задание 2. Найдите значение выражения
Задание 3. Найдите значение выражения
Задание 4. Найдите значение выражения 4
Прямоугольный треугольник. Основы тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество.
При решении задач, связанных с прямоугольным треугольником, необходимо помнить теорему Пифагора, определение синуса, косинуса, тангенса, основное тригонометрическое тождество, формулы для вычисления R, r, S.
Теорема Пифагора: .В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Решение прямоугольного треугольника:
;
Основное тригонометрическое тождество:.
Помним, что: 1) синусы равных углов равны; 2)синусы смежных углов равны, т. е. sin cos тупого угла всегда меньше 0!
Задание 1. В треугольнике ABC AB=BC, AC=14, высота CH равна 7.Найдите синус угла ACB. Ответ: 0,5
Задание 2. В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 9,6, cosA=. Найдите AC. Ответ: 10 |
|
Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус этого угла.
А) В)
|
Задание 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите косинус этого угла. А) В) |
Площадь треугольника Площадь треугольника равна: . Площадь треугольника равна: . Формула Герона: . Площадь треугольника равна: . Площадь треугольника равна:S= . Помним, площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: , а периметры, как коэффициент подобия. |
|
Задание 5. В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24. Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: 96
Площадь четырехугольника
Площадь ромба равна: . Площадь квадрата: .
Задание 6. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. Ответ: 12
Задание 7. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 1,2. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ: 0,75
Задание 8. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 288
Задание 9. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1 ; 14), (5 ; 16), (5 ; 22). Ответ: 12
Задание 10. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ:20
Задание 11. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 30
Свойства вписанных углов
Устно: Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ: 36
Заданине12. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.Ответ:33
Задание 13. Угол ACO равен 27°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах. Ответ:63
Задание 14. Угол ACB равен 54°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. Ответ:15
Задание 15. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. Ответ:122
Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Ответ:35
Задание 17. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Ответ:55
Задание 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.Ответ:4,5
Задание 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Ответ: 6
Площадь поверхности и объем многогранников
Площадь поверхности и объём призмы: Sполн = 2Sосн + Sбок ; V= Sосн
Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований:
Sбок = Росн
Площадь поверхности и объем пирамиды: Sполн = Sосн + Sбок; V= Sосн
Для правильной пирамиды: Sбок = Росн hбок
Задание 20. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.Ответ:3,5
Задание 21. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 12, боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: 288
Задание 22. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 17, сторона основания равна 15. Найдите объём пирамиды. Ответ: 1200
Задание 23. Площадь боковой поверхности треугольной призмы
равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. Ответ:37,5
Задание 24. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А,В, С, В1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. Ответ: 1.
Задание 25. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A1, C1, D1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11. Ответ: 66
Площадь поверхности и объем тел вращения
Цилиндр:
; ;
V=
;
V=
Задание 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 3
Задание 27. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. Ответ:12,6
Задание 28. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 342
Комбинация многогранников и тел вращения
Задание 29. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы
равны 2π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ: 90,5
Задание 30. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра. Ответ:1
Задание 31. Шар вписан в цилиндр объемом 42. Найдите объем шара. Ответ: 28.
Дополнительно. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.