Производная и интеграл.

На этом занятии мы рассмотрим решение заданий 7, 12  из банка заданий ЕГЭ. 

Конспект занятия "Производная и интеграл."

Файл к занятию 29.

Производная. Применение производной. Первообразная.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен производной функции в точке х0..

Т.е. производная функции в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке (х0; f(x0)).

Задание 1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: 0,25

Задание 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 0,6

Задание 3. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,25



Задание 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,2.

Механический смысл производной.

v ( t0 ) = x’ ( t0 )

 скорость – это производная координаты по времени.  Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени

a = v’ ( t ).

Задание 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12 t2+4 t+27, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2 с. Ответ: 52

Задание 6. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=16t3+t28t+180, где x  расстояние от точки отсчёта в метрах, t  время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 42 м/с? Ответ: 1

Достаточный признак возрастания (убывания) функции


1. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.

2. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.


Необходимое условие экстремума


Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то f `(x0 )=0


Достаточное условие экстремума

Если f `(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с «+» на « - », то x0 является точкой максимума функции.


Если f `(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с « - » на «+», то x0 является точкой минимума функции.


Задание 7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].




Ре­ше­ние. Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4. Значит, такая точка 1. Ответ: 1.

Задание 8. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x​7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? Ответ: 3

Задание 9. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11 ; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7 ; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0. Ответ: -4

Задание 10. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (2 ; 13). Найдите точку максимума функции f(x). Ответ: 9

Задание 11. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 3; 8). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: -2

Задание 12. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2 ; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ: 3

Задание 13. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней. Ответ: 5

Задание 14. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=− 2x−10 или совпадает с ней. Ответ: 5

 Задание 15. Прямая y=5x-8 является касательной к графику функции 4x2-15x+c. Найдите c. Oтвет: 17.

Первообразная

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F' (x)= f(x).


Задание 16. На рисунке изображён график y=F (x) одной из первообразных некоторой функции (x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  f (x)=0 на отрезке  [2;11]. Ответ: 4

За­да­ние 17. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [0; 5]. Ответ:1

Задание 18. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? Ответ: 3


Задание 19. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x3−3x2+152x−92 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592




Алгоритм нахождения точек экстремума

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти производную функции  f '(x)

  3. Найти точки, в которых f '(x) = 0.

  4. Отметить на числовой прямой область определения функции и все нули производной.

  5. Определить знак производной для каждого промежутка. (Для этого подставляем "удобное" значение  x из этого промежутка в f '(x)).

  6. Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере (max или min) в каждой из этих точек.

Задание 20. Найдите точку максимума функции y=(2x−1)cosx−2sinx+5, принадлежащую промежутку (0 ; π/2). Ответ: 0,5

Задание 21. Найдите точку максимума функции y=. Ответ: 6


Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке

  1. Найти производную функции f '(x).

  2. Найти точки, в которых f '(x) = 0. Проверить принадлежность этих точек отрезку

  3. Найти значение функции на концах отрезка и в данных точках.

  4. Выбрать из полученных значений наибольшее или наименьшее.

Задание 22. Найдите наименьшее значение функции y=x−6x+1 на отрезке [2 ; 25]. Ответ: -31

Задание 23. Найдите наименьшее значение функции y=8cosx+30x/π+19 на отрезке [− 2π/3; 0]. Ответ: -5

Дополнительно. 1. Найдите точку максимума функции y=(x−11)2⋅e x − 7.

2. Найдите наибольшее значение функции y=х5-5х3-20х на отрезке [− 9 ; 1]. Ответ:48







Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x​0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x​0.

Задание 2

(2 балла)

На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (1 ; 10). Найдите точку минимума  функции f(x).

Задание 3

(2 балла)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=13t3-3t2-5t+3 (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Предыдущий урок на тему " Решение уравнений и неравенств."