Файл к занятию 29.
Производная. Применение производной. Первообразная.
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен производной функции в точке х0..
Т.е. производная функции в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке (х0; f(x0)).
Задание 1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ: 0,25
Задание 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 0,6
Задание 3. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,25
Задание 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -0,2.
Механический смысл производной.
v ( t0 ) = x’ ( t0 )
скорость – это производная координаты по времени. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
a = v’ ( t ).
Задание 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12 t2+4 t+27, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2 с. Ответ: 52
Задание 6. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=16 t3+t2−8 t+180, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 42 м/с? Ответ: 1
Достаточный признак возрастания (убывания) функции
1. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.
2. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.
Необходимое условие экстремума
Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то f `(x0 )=0
Достаточное условие экстремума
Если f `(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с «+» на « - », то x0 является точкой максимума функции.
Если f `(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с « - » на «+», то x0 является точкой минимума функции.
Задание 7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].
Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 4. Значит, такая точка 1. Ответ: 1.
Задание 8. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? Ответ: 3
Задание 9. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11 ; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7 ; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0. Ответ: -4
Задание 10. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (2 ; 13). Найдите точку максимума функции f(x). Ответ: 9
Задание 11. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 3; 8). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: -2
Задание 12. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2 ; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ: 3
Задание 13. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней. Ответ: 5
Задание 14. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=− 2x−10 или совпадает с ней. Ответ: 5
Задание 15. Прямая y=5x-8 является касательной к графику функции 4x2-15x+c. Найдите c. Oтвет: 17.
Первообразная
Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F' (x)= f(x).
Задание 16. На рисунке изображён график y=F (x) одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке [2;11]. Ответ: 4
Задание 17. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [0; 5]. Ответ:1
Задание 18. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? Ответ: 3
Задание 19. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x3−3x2+152x−92 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592
Алгоритм нахождения точек экстремума
Найти область определения функции.
Найти производную функции f '(x)
Найти точки, в которых f '(x) = 0.
Отметить на числовой прямой область определения функции и все нули производной.
Определить знак производной для каждого промежутка. (Для этого подставляем "удобное" значение x из этого промежутка в f '(x)).
Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере (max или min) в каждой из этих точек.
Задание 20. Найдите точку максимума функции y=(2x−1)cosx−2sinx+5, принадлежащую промежутку (0 ; π/2). Ответ: 0,5
Задание 21. Найдите точку максимума функции y=. Ответ: 6
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке
Найти производную функции f '(x).
Найти точки, в которых f '(x) = 0. Проверить принадлежность этих точек отрезку
Найти значение функции на концах отрезка и в данных точках.
Выбрать из полученных значений наибольшее или наименьшее.
Задание 22. Найдите наименьшее значение функции y=x−6x+1 на отрезке [2 ; 25]. Ответ: -31
Задание 23. Найдите наименьшее значение функции y=8cosx+30x/π+19 на отрезке [− 2π/3; 0]. Ответ: -5
Дополнительно. 1. Найдите точку максимума функции y=(x−11)2⋅e x − 7.
2. Найдите наибольшее значение функции y=х5-5х3-20х на отрезке [− 9 ; 1]. Ответ:48