Показательная функция. Логарифм. Логарифмическая функция.

На этом занятии мы рассмотрим показательную и логарифмическую функции, их свойства.  Повторим понятие логарифма, основные свойства логарифма, основное логарифмическое тождество.  Рассмотрим  решение простейших показательных и логарифмических уравнений, преобразование логарифмических выражений. Разберем задания 5 и 9  из открытого банка заданий ЕГЭ.

Конспект занятия "Показательная функция. Логарифм. Логарифмическая функция."

Файл к занятию 14

Самостоятельная работа

Задание 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.  Ответ: 1152


Задание 2. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы. Ответ: 8.

Задание 3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 342

Показательная функция, ее свойства и график 

Функцию вида y=ax, где а0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

1)Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.

2)Область значений показательной функции: E(y)=R+ - множество всех положительных чисел.

3)Показательная функция y = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a 1, и убывающей, если 0 .



 Свойства степени с рациональным показателем

Пусть дано положительное число a и произвольное рациональное число n. Число называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:

  • ;

Если  и  — положительные числа,    — любые рациональные числа, то справедливы следующие свойства:

Решение показательных уравнений вида af(x) =a g(x)

Следствие из теоремы о свойствах показательной функции. Пусть Если степени с основанием равны, то их показатели равны, т.е. если af(x) =a g(x), то f(x)=g(x)

Найдите корень уравнения: 

8x + 5 = 64. Ответ:-3

= 64.Ответ: 10

= 64. Ответ:-1



Задание 1. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  . Ответ: −1.

Задание 2. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 62 − 4x = 363x. Ответ: 0,2.


Задание 3. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 16х-9= 0,5. Ответ: 8,75.


Задание 4. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: . Ответ: −5.


Задание 5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:  . Ответ: 7,5.


Дополнительно:

Задание 1. Найдите корень уравнения (=. Ответ:1,5

Задание 2. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:  .Ответ: −3.


Задание 3. Ре­ши­те урав­не­ние.Ответ: 0,5.


Решение показательных уравнений способом вынесения общего множителя за скобки

Задание 6. Решите уравнение - 2=63. Ответ: 4

Задание 7. Решите уравнение - 2=17. Ответ: 2

Решение показательных уравнений способом введения замены



Задание 8. Решите уравнение . Ответ: 3

Задание 9. Решите уравнение  - . Ответ: 2

Задание 10. Решите уравнение Ответ: 0

Логарифм. Свойства логарифмов

Решите уравнение

Множеством (областью значений) показательной функии у множество всех положительных чисел. Значит, для любого положительного числа в найдется такое значение аргумента с, что

Такое значение аргумента единственное. Это единственное значение аргумента называют логарифмом числа в по основанию а и обозначают с = logab.

Пусть а≠1. Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в.

Вычислить: ;


Задание 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .Ответ: −5.


Задание 12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .Ответ: −0,5.

Основное логарифмическое тождество =b


Вычислить:=18;=100; =18/5; =36


Задание 13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .Ответ: 169.


Задание 14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния . Ответ:

Задание 15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  . Ответ: 25.

Виды логарифмов

  • loga b - логарифм числа b по основанию a (a  0, a ≠ 1, b  0)

  • lg b - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).

  • ln b - натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).

Свойства логарифмов


При любых верно равенство:

  1. logaa = 1

  2. loga1 = 0

  3. loga(bc) = logab + logac

  4. loga() = logab - logac

  5. loga bp = p logab

  6. loga  = -logab

  7. logak b = loga b,    при k ≠ 0

  8. logb c =  - формула перехода к новому основанию





Задание 16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния log560-log512. Ответ: 1.

Задание 17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния log3 8,1+ log3 10. Oтвет: 4.

Задание 18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния log 0,55 20 – log 0,55 11 .Oтвет: −1.


Дополнительное задание:

1. Найдите значение выражения log411−log42,75. Ответ:1

2.Найдите значение выражения log3121,5−log31,5. Ответ: 4


Задание 19. Найдите значение выражения log95/log815. Ответ:2


Задание 20. Найдите значение выражения log​53⋅log​3125. Ответ: 3


Задание 21. Найдите значение выражения log35log527. Ответ:3


Логарифмическая функция Функция вида y = loga х (где а 0, а ≠ 1) называется логарифмической. 1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел. Это следует из определения логарифма, так как выражение logax имеет смысл только при x 0.

2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.
3) Логарифмическая функция
 y = logax является возрастающей на промежутке x 0, если a 1, и убывающей, если 0 .

4) Если a 1, то функция y = logax принимает положительные значения при x 1, отрицательные — при 0 . Если 0 , то функция y = logax принимает положительные значения при 0 , отрицательные — при x 1.


Рассмотрим решение уравнений, в которых переменная находится под знаком логарифма. Известно, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что logax = b, т.е. уравнение logax = b имеет корень. Такой корень существует и равен x = ab, так как logaab = b.



Пусть . Если , то =

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма

Задание 22. Найдите корень уравнения log3(3+6x)=2. Ответ: 1


Задание 23. Найдите корень уравнения log4(12+4x)=3. Ответ: 13


Задание 24. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния log1/4(12-4х)=-3 .Ответ: −13.

Решение логарифмических уравнений на основании свойств логарифма



Задание 25. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния log6(8-х)= log63 . Ответ: 5.

Задание 26. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния log5(5-х)= 2log53  .Ответ: −4.

Задание 27. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния log7(x+9)=log7(2x-11) .Ответ: 20.



Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Задание 2

(2 балла)

Найдите корень уравнения  .

Задание 3

(2 балла)

Найдите значение выражения log6756−log63,5.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ (бывшая часть В) 2017"
Предыдущий урок на тему " Решение геометрических задач."