Файл к занятию 14
Самостоятельная работа
Задание 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 24, боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Ответ: 1152 | |
Задание 2. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. Ответ: 8.
Задание 3. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 144 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 342
Показательная функция, ее свойства и график
Функцию вида y=ax, где а0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
1)Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
2)Область значений показательной функции: E(y)=R+ - множество всех положительных чисел.
3)Показательная функция y = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a 1, и убывающей, если 0 .
Свойства степени с рациональным показателем
Пусть дано положительное число a и произвольное рациональное число n. Число называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:
;
Если и — положительные числа, — любые рациональные числа, то справедливы следующие свойства:
Решение показательных уравнений вида af(x) =a g(x)
Следствие из теоремы о свойствах показательной функции. Пусть Если степени с основанием равны, то их показатели равны, т.е. если af(x) =a g(x), то f(x)=g(x)
Найдите корень уравнения:
8x + 5 = 64. Ответ:-3
= 64.Ответ: 10
= 64. Ответ:-1
Задание 1. Найдите корень уравнения . Ответ: −1.
Задание 2. Найдите корень уравнения 62 − 4x = 363x. Ответ: 0,2.
Задание 3. Найдите корень уравнения 16х-9= 0,5. Ответ: 8,75.
Задание 4. Найдите корень уравнения: . Ответ: −5.
Задание 5. Найдите корень уравнения: . Ответ: 7,5.
Дополнительно:
Задание 1. Найдите корень уравнения (=. Ответ:1,5
Задание 2. Найдите корень уравнения: .Ответ: −3.
Задание 3. Решите уравнение.Ответ: 0,5.
Решение показательных уравнений способом вынесения общего множителя за скобки
Задание 6. Решите уравнение - 2=63. Ответ: 4
Задание 7. Решите уравнение - 2=17. Ответ: 2
Решение показательных уравнений способом введения замены
Задание 8. Решите уравнение . Ответ: 3
Задание 9. Решите уравнение - . Ответ: 2
Задание 10. Решите уравнение Ответ: 0
Логарифм. Свойства логарифмов
Решите уравнение
Множеством (областью значений) показательной функии у множество всех положительных чисел. Значит, для любого положительного числа в найдется такое значение аргумента с, что
Такое значение аргумента единственное. Это единственное значение аргумента называют логарифмом числа в по основанию а и обозначают с = logab.
Пусть а≠1. Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число в.
Вычислить: ;
Задание 11. Найдите значение выражения .Ответ: −5.
Задание 12. Найдите значение выражения .Ответ: −0,5.
Основное логарифмическое тождество =b
Вычислить:=18;=100; =18/5; =36
Задание 13. Найдите значение выражения .Ответ: 169.
Задание 14. Найдите значение выражения . Ответ:
Задание 15. Найдите значение выражения . Ответ: 25.
Виды логарифмов
loga b - логарифм числа b по основанию a (a 0, a ≠ 1, b 0)
lg b - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10).
ln b - натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).
Свойства логарифмов
При любых верно равенство:
logaa = 1
loga1 = 0
loga(bc) = logab + logac
loga() = logab - logac
loga bp = p logab
loga = -logab
logak b = loga b, при k ≠ 0
logb c = - формула перехода к новому основанию
Задание 16. Найдите значение выражения log560-log512. Ответ: 1.
Задание 17. Найдите значение выражения log3 8,1+ log3 10. Oтвет: 4.
Задание 18. Найдите значение выражения log 0,55 20 – log 0,55 11 .Oтвет: −1.
Дополнительное задание:
1. Найдите значение выражения log411−log42,75. Ответ:1
2.Найдите значение выражения log3121,5−log31,5. Ответ: 4
Задание 19. Найдите значение выражения log95/log815. Ответ:2
Задание 20. Найдите значение выражения log53⋅log3125. Ответ: 3
Задание 21. Найдите значение выражения log35⋅log527. Ответ:3
Логарифмическая функция Функция вида y = loga х (где а 0, а ≠ 1) называется логарифмической. 1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел. Это следует из определения логарифма, так как выражение logax имеет смысл только при x 0. 2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.
3) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке x 0, если a 1, и убывающей, если 0 .
4) Если a 1, то функция y = logax принимает положительные значения при x 1, отрицательные — при 0 . Если 0 , то функция y = logax принимает положительные значения при 0 , отрицательные — при x 1.
Рассмотрим решение уравнений, в которых переменная находится под знаком логарифма. Известно, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что logax = b, т.е. уравнение logax = b имеет корень. Такой корень существует и равен x = ab, так как logaab = b.
Пусть . Если , то =
⇔
Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма
Задание 22. Найдите корень уравнения log3(3+6x)=2. Ответ: 1
Задание 23. Найдите корень уравнения log4(12+4x)=3. Ответ: 13
Задание 24. Найдите корень уравнения log1/4(12-4х)=-3 .Ответ: −13.
Решение логарифмических уравнений на основании свойств логарифма
Задание 25. Найдите корень уравнения log6(8-х)= log63 . Ответ: 5.
Задание 26. Найдите корень уравнения log5(5-х)= 2log53 .Ответ: −4.
Задание 27. Найдите корень уравнения log7(x+9)=log7(2x-11) .Ответ: 20.