Задача 19 (С6). Прогрессии.

Последовательности и прогрессии.

Формула n-го члена АП:

Формулы суммы n первых членов АП:

Свойства арифметической прогрессии:

• Каждый член прогрессии равен среднему арифметическому его соседей:

• Сумма крайних чисел равна сумме средних:

Формула n-го члена ГП:

Формулы суммы n первых членов:

Сумма бесконечной прогрессии:

Свойства геометрической прогрессии:

• Квадрат любого члена прогрессии равен произведению его соседей:

• Произведение крайних членов равно произведению средних:

Задачи к уроку:

1. Сумма всех натуральных трехзначных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 9, равна…

2. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 4 и на 6 дают в остатке 1, при делении на 9 дают в остатке 4.

3. Геометрическая прогрессия со знаменателем 5 содержит 10 членов. Сумма всех членов прогрессии равна 24. Найдите сумму всех членов прогрессии с четными номерами.

4. Три числа составляют геометрическую прогрессию, в которой q1. Если второй член прогрессии уменьшить на 8, то полученные три числа в том же порядке опять составят геометрическую прогрессию. Если третий член новой прогрессии уменьшить на 25, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите сумму исходных чисел.

5. Пять положительных чисел образуют геометрическую прогрессию. Произведение первых двух членов прогрессии равно 2187, а произведение последних двух равно 3. Найдите сумму указанных пяти членов геометрической прогрессии.

6. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

1. На доске написано более 45, но менее 55 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 10, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -5

а)Сколько чисел написано на доске?

б)Каких чисел написано больше положительных или отрицательных?

в)Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

1. Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁ = a₁+a₂+...+a₃₅₀,

S₂ = a₁²+a₂²+...+a₃₅₀²,

S₃ = a₁³+a₂³+...+a₃₅₀³,

S₄ = a₁⁴+a₂⁴+...+a₃₅₀⁴.

Известно, что S₁ = 513.

а) Найдите S₄, если еще известно, что S₂ = 1097, S₃ = 3243.

б) Может ли S₄ = 4547?

в) Пусть S₄ = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

1. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2618.

а)Может последовательность состоять из двух членов?

б)Может ли последовательность состоять из трех членов?

в)Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Домашняя работа:

1. Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, не превосходящих 450, каждое из которых при делении на 19 дает в остатке 7.

2. Сумма первых 100 членов арифметической прогрессии равна 50, а сумма первых 200 ее членов равна 200. Чему равна сумма первых 400 членов этой прогрессии?

3. Геометрическая прогрессия со знаменателем 4 содержит 10 членов. Сумма всех членов прогрессии равна 30. Найдите сумму всех членов прогрессии с чётными номерами.

4. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

В ответе запишите «+», если ответ на пункт а или б «да», «-» – если «нет», и число, найденное в третьем пункте, например: +-567315

1. Последовательность a1, a2, . . . , an, . . . состоит из натуральных чисел, причём a_n+2 = a_n+1 + a_n при всех натуральных n. а) Может ли выполняться равенство 4a₅ = 7a₄?  б) Может ли выполняться равенство 5a₅ = 7a₄? в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 6na_n+1 = (n ² + 24)a_n ?

При ответе «да» ставим +, «нет» - , в ответе запишите 2 знака и число без пробелов и знаков препинания.