Задача 13 (С1). Логарифмические уравнения. Уравнения смешанного типа.
Сегодня на занятии мы разберем способы решения логарифмических уравнений, рассмотрим смешанные уравнения, в которых вместе с логарифмами встречаются тригонометрические или показательные элементы.
Конспект занятия "Задача 13 (С1). Логарифмические уравнения. Уравнения смешанного типа."
Решение логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:
Основное логарифмическое тождество: 
где a 0, a ≠ 1 и b 0.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
| loga x = b. | (1) |
Утверждение 1. Если a 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)
|
| f(x) = g(x), |
|
| f(x) = g(x), |
| f(x) 0, | g(x) 0. |
Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем
|
| f(x) = g(x), |
|
| f(x) = g(x), |
| h(x) 0, | h(x) 0, | |||
| h(x) ≠ 1, | h(x) ≠ 1, | |||
| f(x) 0, | g(x) 0. |
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения
f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)
или
loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.
Задачи к уроку:
Решить уравнения: a)
, b) 
, c)
Решить уравнения
a)
, b)
Решить уравнения
a)
b)
c) 2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0,
Решить уравнения
a) lg2x - 3lgx + 2 = 0,
c) lg2100x + lg210x + lgx = 14,
b)
, d) 5lgx = 50 - xlg5.
Решить уравнения
Решить уравнения
a)
b)
с) |log2(3x - 1) - log23| = |log2(5 - 2x) - 1|;
Решить уравнение:
Решите уравнение:
.
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
а) Решите уравнение
,
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
.
а)Решите уравнение
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
12. Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения из промежутка 
2
Задания по теме для самостоятельного решения
Задание 1
(2 балла)Решить уравнение: 
В ответ запишите больший корень, умноженный на 2.
Задание 2
(3 балла)Решить уравнение: logx(x2 - 3x + 6) =2.
В ответ запишите сумму корней (или корень, если он единственный).
Задание 3
(3 балла)Решить уравнение: 16log4(1 - 2x) = 5x2 - 5. В ответ запишите сумму корней (или корень, если он единственный), увеличенную на корень из 10.