Задача 16 (С4). Планиметрия. Окружности.

Теоретический материал по теме «Окружность»

Элементы окружности

Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).

Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

Длина окружности: C = 2R, R — радиус окружности, D — диаметр.

Длина дуги окружности: C= Ra =Rα/180˚ , a — радианная мера дуги, α — градусная мера.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга: S = R² = D²/4 .

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

Площадь сектора:S=R²α/360˚ .

Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: .



Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

• Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: .

• Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между касательными).  Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

• Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

• Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов расстояния от точки пересечения секущих до центра окружности и радиуса окружности: .

• Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки M до центра окружности: .

• Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: .

• Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов): .

• Теорема Птолемея: Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей: .

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теоремы:

• Центром вписанной в четырехугольник окружности является точка пересечения биссектрис

• В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

• Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

• Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.

• Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон: , .

Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

Теоремы:

• Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

• В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180˚.

• Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.

Задачи к уроку.

1. Две окружности внутренне касаются в точке А. Через точку А проведены две секущих этих окружностей. Одна из секущих пересекает меньшую и большую окружность в точках M и N соответственно, а другая – в точках P и Q. Доказать, что AM:AN=AP:AQ.

1. В круге радиуса R проведены две пересекающиеся под прямым углом хорды. Найти:

а) Сумму квадратов четырех отрезков этих хорд, на которые последние делятся точкой пересечения.

б) сумму квадратов хорд, если расстояние от центра О круга до их точки пересечения равно d.

1. Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

1. Ра­ди­у­сы окруж­но­стей с цен­тра­ми O₁ и O₂ равны со­от­вет­ствен­но 1 и 3. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных и пря­мой O₁O₂, если O₁O₂ = 14.

1. Точка B лежит на от­рез­ке AC. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке K. Про­дол­же­ние от­рез­ка MB пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке D.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и MC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK = 3 и MK = 12.

1. Пер­вая окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник KLM, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны KL в точке B, а ос­но­ва­ния ML — в точке A. Вто­рая окруж­ность с цен­тром O₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния ML и про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OLO₁ пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой равен 6 и AK = 16.

1. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CA в точ­ках K, M и N со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что 

б) Най­ди­те от­но­ше­ние AK : KB, если из­вест­но, что AN : NC = 4 : 3 и .

1. Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и делит каж­дую из сто­рон AB и BC на три рав­ные части.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка делит сто­ро­ну BC.

1. В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна BD.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника CDO, если известно, что АВ:ВО=3:1, а площадь треугольника ACD равна 36.

1. В треугольнике ABC BA=8, BC=7, . Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М.

а) Докажите, что АМ=ВС.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

1. Две окружности касаются внутренним образом в точке А так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда ВС большей окружности касается меньшей в точке К. Прямые АВ и АС вторично пересекают меньшую окружность в точках Р и М соответственно.

а) Докажите, что РМ||ВС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если РМ=12, а радиус большей окружности равен 20.

1. Четырехугольник ABDC вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что , а площадь четырехугольника ABDC равна 36.