Задача 16 (С4). Планиметрия. Комбинация окружности и четырехугольника.

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;

• противоположные углы равны;

• диагонали точкой пересечения делятся пополам;

• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d₁²+d₂²=2(a²+b²).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2. Противоположные стороны попарно равны.

3. Противоположные углы попарно равны.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

• все свойства параллелограмма;

• диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

• Все свойства параллелограмма;

• диагонали перпендикулярны;

• диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если:

2. Две его смежные стороны равны.

3. Его диагонали перпендикулярны.

4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;

• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

1. Произвольный выпуклый четырехугольник 
   d₁, d₂ — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =d₁d₂ sin 

1. Параллелограмм
   a и b — смежные стороны; — угол между ними; h_a — высота, проведенная к стороне a.

S = ah_a

S = ab sin 

S =d₁d₂ sin 

1. Трапеция
   a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.
   
   
   

S = lh

1. Прямоугольник

S = ab

S =d₁d₂ sin 

1. Ромб
   
   
   

S = ah_a

S = a²sin 

S =d₁d₂

1. Квадрат
   d — диагональ.

S = a²

S =d²

Задачи к уроку.

1. Определить острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое его диагоналей.

2. На сторонах квадрата ABCD отмечены точки M, N и K, где M – середина AB, N лежит на стороне BC, причем 2BN=NC, K лежит на стороне DA, причем 2DK=KA. Найти синус угла между прямыми MC и NK.

3. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­сы углов при сто­ро­не AD делят сто­ро­ну BC точ­ка­ми M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Най­ди­те BC если AB = 12.

4. В па­рал­ле­ло­грамм впи­са­на окруж­ность.

а) До­ка­жи­те, что этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

б) Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны ромба, делит её на от­рез­ки, рав­ные 3 и 2. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми ромба.

1. Сто­ро­на CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся не­ко­то­рой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние сто­ро­ны AD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках P и Q, причём точка P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая BC ка­са­ет­ся окруж­но­сти, а точка Q лежит на пря­мой BM.

а) До­ка­жи­те, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Из­вест­но, что CM = 17 и CD = 32. Най­ди­те сто­ро­ну AD.

1. Квад­рат ABCD впи­сан в окруж­ность. Хорда CE пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль BD в точке K.

а) До­ка­жи­те, что 

б) Най­ди­те от­но­ше­ние CK и KE, если  .

1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.

а) Докажите, что AD*BP=BC*DP.

б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD=2AC, а площадь четырехугольника ABCD равна 36.

1. Высота равнобедренной трапеции ABCD (ВC и AD - основания) равна длине ее средней линии.

а) докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон AB, BC и CD трапеции, если известно, что BC=4, AD=6.

1. Четырехугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями AC и BD вписан в окружность.

а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно что