Стереометрия. Многогранники.

Файл к уроку 27

Многогранники.

Чаще всего задания по стереометрии предполагают нахождение площади сечения, объема многогранника, нахождение углов между прямой и плоскостью и между плоскостями, либо нахождение отдельных элементов многогранника. Для этого важно увидеть, как свести стереометрическую задачу к планиметрической подзадаче и конечно знать соответственные формулы планиметрии.

Из новых понятий, которые мы встречаем в данной теме, появляется объем и площадь поверхности многогранника, формулы которых приведены в таблице:

Задачи к уроку:

1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45^о.

а) Найдите высоту пирамиды.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

1. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.

б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.

1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

1. На ребре АА₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 6EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что , AD = 12, AA₁ = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

1. Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, . Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. Вычислите объём пирамиды MPTC.

1. В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA₁ равно . На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A₁N = C₁K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

1. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

1. В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.