Стереометрия. Тела вращения и комбинации фигур

Файл к уроку 28.

Стереометрия. Тела вращения.

III. Тела вращения.

Прямым круговым цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон.

Прямым круговым конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.

Тело, полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром. Поверхность, образуемая при этом, называется сферой.

.

                 Цилиндр ( -радиус основания):

                Конус ( -образующая):

            Усеченный конус (, - радиусы оснований,  - образующая):

           Шар, сфера (- радиус шара,  - площадь сферической поверхности).

         Шаровой сегмент (- высота сегмента).

        Шаровой сектор:

.

Задачи к теме:

1. Две па­рал­лель­ные плоскости, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 2, пе­ре­се­ка­ют шар. Одна из плос­ко­стей про­хо­дит через центр шара. От­но­ше­ние пло­ща­дей се­че­ний шара этими плос­ко­стя­ми равно 0,84. Най­ди­те ра­ди­ус шара.

2. Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.

3. Радиус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

4. Радиус ос­но­ва­ния конуса равен 5, а его вы­со­та равна 12. Плос­кость сечения со­дер­жит вершину ко­ну­са и хорду основания, длина ко­то­рой равна 6. Най­ди­те расстояние от цен­тра основания ко­ну­са до плос­ко­сти сечения.

1. Тело состоит из двух конусов, имеющих общее основание и расположенных по разные стороны от плоскости основания. В тело вписан шар.

а) Изобразите осевое сечение полученной фигуры;

б) Найдите объем шара, если радиус оснований конусов равен 1, а высоты конусов равны 1 и 2.

1. В конус, радиус основания которого равен 3, вписана сфера радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации тел;

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади сферы.

1. В прямом круговом конусе произведение высоты и радиуса основания равно 3. Найдите значения, которые может принимать радиус шара, описанного вокруг конуса.

1. В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пирамиду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пирамиды.) Най­ди­те пло­щадь этой сферы.

1. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основание по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.