Задача 14 (С2). Стереометрия. Многогранники и тела вращения. - Математика - Подготовка к ЕГЭ

Задача 14 (С2). Стереометрия. Многогранники и тела вращения.

На этом занятии мы рассмотрим интересные задачи ЕГЭ на комбинации многогранников и тел вращения.

Конспект занятия "Задача 14 (С2). Стереометрия. Многогранники и тела вращения."

Файл к уроку 26

Координатный метод.

Сегодня мы продолжим разговор о координатном методе и посмотрим, как применять его при вычислении площадей сечений и объемов многогранников, решим задачи ЕГЭ 2016 года, используя данный метод.

Основные формулы остаются теми же, но с ними понадобятся и формулы площади многоугольников.

Уравнение прямой в пространстве определяется точкой на прямой и направляющим вектором : (оно же каноническое уравнение).

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки и : .

Уравнение прямой можно задать и как пересечение двух плоскостей:

Соответственно уравнение плоскости в пространстве имеет вид: , где – нормальный (перпендикулярный) вектор плоскости. Для определения положения плоскости в пространстве достаточно знать 3 точки, через которые она проходит, не лежащие на одной прямой.

Угол между прямыми в пространстве – угол между их направляющими векторами:

Угол между прямой и плоскостью:


Угол между плоскостями





Расстояние между двумя точками и можно вычислить по формуле:

Расстояние от точки М до плоскости α, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.



Задачи к уроку:



  1. Точка E — середина ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью D1AE, если ребра куба равны 4.



  1. Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, . Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. Вычислите объём пирамиды MPTC.



  1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А1С1 и В1С1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.



  1. В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

  2. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро AA1 равно . На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL - квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.



  1. Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой стороны основания AB = 4, а боковое ребро АА1 = 9. Точка М – середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, что АТ = 5.

а) докажите, что ВВ1М делит отрезок С1Т пополам.

б) Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1на две части. Найти длину меньшей из них.

Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно  83, а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.

Задание 2

(3 балла)

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВF1. В ответе укажите число, которое является обратным (взаимно обратными называют числа, произведение которых равно 1) к квадрату найденного косинуса.

Задание 3

(3 балла)

Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отре­зок BM так, что BT : TM = 1 : 3. Вычислите объём пирамиды MPTA.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ, (бывшая С) 2017"
Следующий урок на тему " Стереометрия. Многогранники."