Задача 14 (С2). Стереометрия. Расстояния и углы в пространстве.

Файл к уроку 25

Координатный метод. Нахождение расстояний и углов в пространстве.

Как и на плоскости, в пространстве мы можем вводить систему координат, и в этой системе находить координаты точек, уравнения прямых и плоскостей, а зная их – вычислять расстояния и углы в пространстве, используя координатный метод.

Уравнение прямой в пространстве определяется точкой на прямой и направляющим вектором : (оно же каноническое уравнение).

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки и : .

Уравнение прямой можно задать и как пересечение двух плоскостей:

Соответственно уравнение плоскости в пространстве имеет вид: , где – нормальный (перпендикулярный) вектор плоскости. Для определения положения плоскости в пространстве достаточно знать 3 точки, через которые она проходит, не лежащие на одной прямой.

Угол между прямыми в пространстве:

1. Точка К – середина ребра АA₁ куба АВСDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми A₁В и СК.

2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ₁ и ВF₁

Угол между прямой и плоскостью

1. В единичном кубе найдите угол между прямой AВ₁ и плоскостью (А₁EF), где Е – середина В₁С₁, BF = 1/3BB₁.

Угол между плоскостями

1. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями (АВС₁) и (А₁В₁С).

Расстояние между двумя точками и можно вычислить по формуле:

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Итак, для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости нам необходимо найти координаты точки, и координаты нормали данной плоскости. После чего воспользоваться следующей формулой:

1. В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ проведена диагональ B₁D. В каком отношении, считая от вершины B₁, плоскость А₁BC₁ делит диагональ B₁D?

2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого АВ = 3, АD = 2 и AA₁ = 7 единиц. Точка E лежит на ребре АА₁ и делит его в отношении 5 : 2считая от точки А. Найдите угол между скрещивающимися прямыми ВЕ и А₁С.

3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно .

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка Е – середина ребра А₁В₁. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью BDD₁.

5. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами . Высота параллелепипеда . Найдите расстояние от точки А до плоскости A₁DB.

6. Дана правильная призма ABCA₁B₁C₁, у которой стороны основания AB = 4, а боковое ребро АА₁ = 9. Точка М – середина ребра АС, а на ребре АА₁ взята точка Т так, что АТ = 5.

а) докажите, что ВВ₁М делит отрезок С₁Т пополам.

б) Плоскость ВТС₁ делит отрезок МВ₁на две части. Найти длину меньшей из них. Заполнить пропуски в решении.