Задача 18 (С5). Уравнения и системы с параметрами.

файл к уроку 24

Решение уравнений и систем с параметрами. Графический метод.

Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или нахождения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.

Плюсы графических методов: во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на них и, соответственно, на решение изменение параметра; во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи; в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.

Минусы графических методов: при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Напомним некоторые факты и формулы, необходимые для решения уравнений графическим методом.

• Уравнение прямой в общем виде: , где . Для построения прямой на плоскости достаточно найти координаты двух точек и провести через них прямую.

• задает параболу, для построения которой нужно знать вершину, точки пересечения с осями и направление ветвей.

• Уравнение , получаемую из сдвигами и расяжением.

• График функции получаем из графика , симметрично отбразив все точки ниже оси ОХ на верхнюю полуплоскость.

• Для построения графика функции строим график на неотрицательном направлении ОХ, затем симметрично ОУ отображаем все точки на левую (относительно ОУ) полуплоскость.

• Уравнение окружности с центром в точке и радиусом R имеет вид: .

• Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке имеет вид: .

• Расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле: .

Задачи к уроку:

1. При каких значениях параметра a уравнение ax² + | x – 1 | = 0  имеет три решения?

1. Найти все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы 1 корень:

.

1. Найти все такие значения величины х, при которых неравенство выполняется для всех а, удовлетворяющих условию 1a:

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения:

1. Найти все а, при которых уравнение имеет наибольшее количество решений на отрезке .Чему равно это количество?

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, меньшее 2.

1. При каждом а решить систему уравнений:

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение:

Ответ:

1. При каких значениях параметра а система имеет хотя бы 1 решение: