Тела вращения. Конус, цилиндр, шар.
На этом занятии мы рассмотрим тела вращения. Разберем задачи на вычисление площади поверхности и объема конуса, цилиндра, шара. Рассмотрим простейшие задачи на комбинации тел вращения и многогранников. Разберем задания 8 из базы ЕГЭ
Конспект занятия "Тела вращения. Конус, цилиндр, шар."
Теория по теме «Тела вращения»
Цилиндр
| Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону. Пусть h — высота цилиндра, r — радиус цилиндра, Sбок — площадь боковой поверхности цилиндра, Sполн — площадь полной поверхности цилиндра, V — объем цилиндра. Тогда имеют место следующие соотношения: |
|
Конус
| Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Пусть h — высота конуса, r — радиус основания конуса, l — образующая конуса, Sбок — площадь боковой поверхности конуса, Sполн — площадь полной поверхности конуса, V — объем конуса. Тогда имеют место следующие соотношения: |
|
Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию
Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию (перпендикулярной высоте), делит высоту и образующие конуса на пропорциональные отрезки.
Площади сечений конуса, параллельных его основанию, относятся как квадраты их расстояний от вершины конуса.
Усеченный конус
| Пусть h — высота усеченного конуса, r и r1 — радиусы основания усеченного конуса, l — образующая усеченного конуса, Sбок — площадь боковой поверхности усеченного конуса, V — объем усеченного конуса. Тогда имеют место следующие соотношения: |
|
Шар и сфера
Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.
Сферой называется поверхность шара.
Пусть R — радиус шара, D=2R — его диаметр, S — площадь ограничивающей шар сферы, V — объем шара, тогда имеют место следующие соотношения:
Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса этой сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса этой сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.
В этом случае плоскость называется секущей по отношению к сфере.
Сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения r выражается через радиус шара R и расстояние d от центра шара до плоскости сечения следующим образом
.
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d=0 и радиус сечения равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара.
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу этой сферы, то сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку.
В этом случае плоскость называется касательной к сфере, а их общая точка называется точкой касания сферы и плоскости
Задания по теме для самостоятельного решения
Задание 1
(2 балла)
Задание 2
(2 балла)
Задание 3
(2 балла)Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 70. Найдите длину образующей конуса.
