Текстовые и логические задачи.
Логические задачи – это целый пласт текстовых задач, при решении которых применяются различные методы и идеи, порой не имеющие отношения к математике. На сегодняшнем занятии мы рассмотрим задачи, решаемые с конца (задачи на обратный ход), метод от противного, подсчет двумя способами, задачи, при решении которых используются математические раскраски, а также задачи, для решения которых нужна логика и жизненные знания.
Начнем с разминочных задач-загадок:
Что можно видеть с закрытыми глазами?
Назовите пять дней, не называя чисел (1, 2, 3,..) и названий дней (понедельник, вторник, среда…)
Некоторые задачи требуют хорошей работы мозга, и чисто логических рассуждений, без всяких подсчетов.
На острове живут два племени — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы — всегда лгут. Вы пришли в поселение туземцев, но не знаете, аборигены это или пришельцы. Они могут ходить друг к другу в гости. Вы встретили в поселении человека, как, задав один-единственный вопрос, узнать, в каком поселении вы находитесь?
Заметьте, в данной задаче я не прошу выяснить, кем является встреченный вами человек, мне интересно, кто живет в поселении – племя аборигенов или племя пришельцев.
Тот же остров. Путешественник нанял местного островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник — аборигеном или пришельцем?
Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?
Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хотел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: "В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них написано "`Останьтесь"', на другом — "`Уходите"'. Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано "Уходите". Однако ему удалось сделать так, что король его оставил. Как поступил премьер-министр?
Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 143, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?
Некоторые задачи легко решаются, используя «обратный ход», или решение с конца.
Предложил черт лодырю: «Всякий раз, как перейдешь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей». Трижды перешел лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?
Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько гусей было первоначально?
Трем братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять часть бубликов: «Я, — сказал он, — оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделит так же». Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет каждому брату?
Для решения текстовых задач часто используют составление уравнений, однако логические задачи подразумевают некий подвох в решении, или использование дополнительных методов, как в следующих задачах.
Проходя мимо пасеки, Вася вступил в конфликт с группой из 20 пчел. Защищаясь, он раздавил 2 пчелы, но другие 3 ужалили его. Затем он убил еще несколько пчел, после чего получил столько же укусов. На этом инцидент был исчерпан. В итоге число доставшихся Васе укусов оказалось равным числу оставшихся в живых пчел. Сколько было этих укусов?
Для решения следующих задач мы используем такой метод, как подсчет двумя способами.
Можно ли в таблице 5*10 расставить числа так, чтобы сумма в каждой строке равнялась 30, а в каждом столбце 10?
Рита, Люба и Варя решали задачи. Чтобы дело шло быстрее, они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, причём одновременных решений не было. Они ошибаются. Как вы думаете, почему?
Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскуток граничит только с белыми, а каждый белый - с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?
Задачи, для решения которых используется раскраска, также можно отнести к разряду логических.
В каждой клетке доски 5*5 сидят жуки. В некоторый момент времени каждый жук переползает в клетку, соседнюю с его клеткой по стороне. Докажите, что при этом останется хотя бы 1 пустая клетка.
В левом нижнем углу доски 12*12 стоят 9 фишек, образуя квадрат 3*3. За один ход разрешается выбрать любые 2 фишки и переставить одну симметрично другой (вторая остается на месте). Можно ли переместить таким образом все фишки так, чтобы они образовывали квадрат 3*3 в правом нижнем углу?
Интерес представляют и задачи, решаемые методом от противного (от обратного), где мы сначала предполагаем, что утверждение задачи неверно, а затем приходим к противоречию, что означает, что исходное утверждение действительно верно.
Можно ли расставить на окружности 20 фишек так, чтобы в каждой точке, диаметрально противоположной красной фишке, стояла синяя, и никакие 2 синих не стояли рядом?
Задача с подвохом. Петя и Коля, встретившись на улице, увидели написанное мелом на асфальте двузначное положительное число. Петя прибавил к нему 4 и затем поделил на 7, а Коля поделил его на 9 и затем отнял 1. Результаты совпали. Какое число было написано?
Интересны и задачи на соединения, «дружбы», и т.д., когда требуется узнать, кого больше. Здесь также применимо составление уравнений, но так как числовое решение мы получить не можем, то будем проводить анализ имеющихся данных. Например, в следующей задаче:
Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше: философов или математиков?
Домашнее задание
После каждого видео занятия на сайте появляется домашнее задание. Задачи домашнего задания подобраны по возрастанию сложности. Интересные задачи найдет для себя каждый ученик, как сильный, так и не очень. К каждой задаче дается подсказка, за использование которой количество баллов за задачу уменьшается на 1. Будьте внимательны, сначала прорешайте задачи в тетради, и если полностью уверены в своих ответах – проверьте их, введя в строку ответов на сайте. Все числовые ответы вводятся числом без знаков препинания и пробелов, если в ответе требуется имя – вводит его с большой буквы, и также не ставим пробелов и знаков препинания.
1. Аня, Катя и Оля были в одной комнате. Девочки видели, как одна из них разбила стакан. В ответ на вопрос, кто разбил стакан, Катя сообщила, что ни она, ни Оля ничего не разбивали. Оля сказала, что стакан разбила Катя, Аня призналась, что стакан разбила она. Кто разбил стакан, если одна девочка сказала правду, а две другие – нет? В ответ напишите имя девочки с большой буквы.
2. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Что налили в кувшин? Ответ дать с малой буквы.
3. Дана дробь
В • А • Р • Е • Н • Ь • Е
К • А • Р • Л • С • О• Н
равная целому числу, разные буквы обозначают разные цифры, а между ними знак умножения. Чему равна дробь? В ответ запишите целое число без пробелов и знаков препинания.
4. Три подружки – Соня, Оля и Поля – сели пить чай. Оля и Соня выпили вдвоём 11 чашек, Поля и Оля – 15, а Соня и Поля – 14. Сколько чашек чая выпили все три девочки вместе?
5. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?
6. (Старинная задача) Прекрасная дева с блестящими очами, скажи мне, ты, которая умеешь правильно считать, как велико число, которое, будучи умножено на три, затем увеличенное на 3/4 этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено на 14, уменьшено на 52, разделено на 12, после прибавления 8 и деления на 2, дает число 10.
7. Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе только одни ворота, и в каждых воротах стоит сторож. Подошел крестьянин к первому сторожу и показал ему царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что несешь, и еще одно». То же ему сказали второй и третий сторож. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?
8. У филателиста Бори большое количество марок. Однажды он решил разместить их в большом альбоме, состоящем из 1000 страниц, так, чтобы на всех заполненных страницах марок было поровну (какие-то страницы в конце альбома могут остаться пустыми). Но когда Боря попробовал раскладывать по 7 марок на странице, то у него 5 марок осталось (но не все страницы были заполнены). Тогда он стал раскладывать сначала по 11 марок на странице, затем – по 13 марок на странице. Но снова у него оба раза осталось 5 марок. Наконец, когда Боря решил разложить по 23 марки на странице, то на этот раз у него осталось 6 марок.
Сколько марок в коллекции у Бори?
