Делимость. Деление с остатком.

На этом занятии мы рассмотрим свойства четности, делимость, деление с остатком, основную теорему арифметики,  способы доказательства выражений.

Конспект занятия "Делимость. Деление с остатком."

Делимость. Основная теорема арифметики. Деление с остатком.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами поговорим о натуральных числах, делении натуральных чисел и остатках от деления. Вспомним, что такое простые и составные числа, делители числа, познакомимся с основной теоремой арифметики.



Говорят, что число а делится на b (или говорят, что число b делитель числа a), если существует число с такое, что а=bc.

Простые числа – числа, имеющие ровно 2 делителя.

Составные числа – числа, имеющие больше двух делителей.

Взаимно простые числа – числа, не имеющие общих простых делителей, то есть НОД их равен 1.

НОД – наибольший из общих делителей двух чисел.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число единственным образом представимо в виде произведения степеней простых чисел .

Запись называется канонической записью числа.

Пример 1: Представьте в каноническом виде число 2016.

Решение.

Разложим 2016 на простые множители, получим пять двоек, две тройки и семерку. Каноническое разложение имеет вид 2016=25·32·7.

Пример 2: Как Вы считаете, какими — четными или нечетными — будут сумма и произведение: а) двух четных чисел; б) двух нечетных чисел; в) четного и нечетного чисел?; г) нечетного и четного чисел?

Решение

Сумма двух четных чисел или двух нечетных чисел будет четной, а сумма четного и нечетного чисел будет нечетной. Произведение будет четным, если хотя бы одно из сомножителей четное число. Если же оба сомножителя нечетны, то произведение будет нечетным.

  1. Два класса с одинаковым количеством учеников написали контрольную. Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистратович сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович? 

  2. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

  3. Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он? 

Подсказка Обратите внимание: сумма номеров на обеих сторонах любого листа нечётна. 

  1. Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар= 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать? 

Подсказка

Обратите внимание: Билл купил 6 коробков спичек. 

  1. Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 1980? А 1990? А 2016? 

Подсказка

Эту задачу можно сформулировать иначе: "Можно ли разложить числа 1980, 1990, 2016 на однозначные сомножители?" 

  1. Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра. Сколько творческих людей "отрастили" волку хвост?

Подсказка: Разложите 864 на простые множители. Творческие люди утраивали длину хвоста.

  1. Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.

  2. Сумма трёх различных наименьших делителей некоторого числа A равна 8. На сколько нулей может оканчиваться число A?


  1. Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.



  1. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?



  1. Записали одну за другой четыре последовательных цифры, затем первые две поменяли местами. Получилось четырехзначное число, являющееся точным квадратом. Найти это число.



  1. Целые числа a и b таковы, что 56a = 65b
    Докажите, что a + b - составное число.

  2. Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке. 


  1. Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?



  1. Найти все пятизначные числа вида 517mn (m, n - цифры), которые делятся на 18.

  2. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.

  3. Сумма двух чисел 177. При делении большего из них на меньшее в частном получится 3 и в остатке 9. Найти эти числа.

(Что будет при делении 177 на меньшее?)

  1. Доказать, что если сумма трех последовательных натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение делится на 24.

  2. Доказать, что если сумма четырех натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение число четное.

  3. а) Докажите, что  p2 – 1  делится на 24, если p – простое число и p  3.


Подсказка: Известно, что p 3 и p — простое число, т.е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете: а) будут ли чётными числа (p + 1) и (p - 1); б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?

  1. Докажите, что при любом целом n число n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6.


  1. Доказать, что при любом целом натуральном n разность (7n+1)2-(2n-4)2 делится на 15.


  1. Докажите, что если a нечётно, то a2 – 1 делится на 8.

  2. Докажите, что, каковы бы ни были целые числа a и b, число ab(a2b2)(4a2b2) всегда делится на 5.






Домашняя работа 5-7 класс

  1. Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.


  1. В комнате стоят трехногие табуретки и четырехногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

  2. При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.



  1. В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребёнка — простое число. Сколько лет младшему?

  2. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья – четвёрки, половина – тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

  3. Найти натуральное наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает остаток 1 и, кроме того, делится нацело на 7.

  4. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если от этого числа отнять число, но в обратном порядке, то получится 36. Найти число.

  5. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 132. Найти число.

  6. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?

  7. Жители острова Невезения, как и мы с вами, делят сутки на несколько часов, час на несколько минут, а минуту на несколько секунд. Но у них в сутках 77 минут, а в часе 91 секунда. Сколько секунд в сутках на острове Невезения?



Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

 Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.

Задание 2

(3 балла)

В комнате стоят трехногие табуретки и четырехногие стулья. Когда на все эти сидячие места уселись люди, в комнате оказалось 39 ног. Сколько в комнате табуреток?

Задание 3

(3 балла)

При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к олимпиадам 2017"
Следующий урок на тему " Математические игры и стратегии."
Предыдущий урок на тему " Разрезания. Замощения. Раскраски."