Конспект занятия "Окружность. Круг. Углы в окружности. Хорды, секущие, касательные."
Теоретический материал по теме «Окружность»
Элементы окружности
Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).
Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_1.png)
Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде
Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.
Длина окружности: C = 2
R, R — радиус окружности, D — диаметр.
Длина дуги окружности: C= Ra =
Rα/180˚ , a — радианная мера дуги, α — градусная мера.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
Площадь круга: S =
R² =
D²/4 .
Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_6.png)
Площадь сектора:S=
R²α/360˚ .
Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_8.png)
Свойства вписанных углов
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_10.png)
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:
.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_12.png)
Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_13.png)
Углы, связанные с окружностью
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_15.png)
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_17.png)
Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:
.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_19.png)
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_21.png)
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_23.png)
Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_24.png)
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_26.png)
Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки M до центра окружности:
.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_28.png)
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_30.png)
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_32.png)
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_34.png)
Окружность, вписанная в многоугольник
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.
Теоремы:
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_35.png)
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон:
,
.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_38.png)
Окружность, описанная около четырехугольника
Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.
Теоремы:
Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180˚.
Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.
![](/uploads/b/0/4/b046de7b7cd41b8d3b4ed8d810372048c31eb60e/Teoreticheskij-material-k-zanyatiyu-5_39.png)