Окружность. Круг. Углы в окружности. Хорды, секущие, касательные.

На этом занятии рассмотрим окружность, вписанные и центральные углы, свойства секущих и касательных, вспомним формулы для вычисления длины окружности и площади круга, площадь сектора.  Решение задач 3 и 6 из базы заданий ЕГЭ

Конспект занятия "Окружность. Круг. Углы в окружности. Хорды, секущие, касательные."

Теоретический материал по теме «Окружность»

Элементы окружности

Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).

Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

Длина окружности: C = 2RR — радиус окружности, D — диаметр.

Длина дуги окружности: C= Ra =Rα/180˚ , a — радианная мера дуги, α — градусная мера.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга: S = R² = D²/4 .

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

Площадь сектора:S=R²α/360˚ .

Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.

Свойства вписанных углов

 Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: .

 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: .

 Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

Углы, связанные с окружностью
  • Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: .

  • Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

  • Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: .

  • Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: .

  • Теорема (угол между касательными).  Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

Отрезки, связанные с окружностью
  • Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

  • Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов расстояния от точки пересечения секущих до центра окружности и радиуса окружности: .

  • Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки M до центра окружности: .

  • Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: .

  • Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов): .

  • Теорема Птолемея: Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей: .

Окружность, вписанная в многоугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теоремы:

  • Центром вписанной в четырехугольник окружности является точка пересечения биссектрис

  • В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

  • Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

  • Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.

  • Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон: .

Окружность, описанная около четырехугольника

Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

Теоремы:

  • Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

  • В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180˚.

  • Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.



Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 105°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 91°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Задание 2

(2 балла)

Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те угол BOC, если угол BAC равен 32°. Отет дайте в гра­ду­сах.

Задание 3

(2 балла)

Точки А, В, С  рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 1:3:5. Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка АВС. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом "Математика Подготовка к ЕГЭ 2016"
Следующий урок на тему " Прямоугольная система координат."