Окружность. Круг. Углы в окружности. Хорды, секущие, касательные.

Теоретический материал по теме «Окружность»

Элементы окружности

Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).

Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

Длина окружности: C = 2R, R — радиус окружности, D — диаметр.

Длина дуги окружности: C= Ra =Rα/180˚ , a — радианная мера дуги, α — градусная мера.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга: S = R² = D²/4 .

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

Площадь сектора:S=R²α/360˚ .

Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.

 Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: .

 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: .



 Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

• Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: .

• Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: .

• Теорема (угол между касательными).  Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг: .

• Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

• Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов расстояния от точки пересечения секущих до центра окружности и радиуса окружности: .

• Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки M до центра окружности: .

• Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: .

• Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов): .

• Теорема Птолемея: Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей: .

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теоремы:

• Центром вписанной в четырехугольник окружности является точка пересечения биссектрис

• В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

• Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

• Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.

• Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон: , .

Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

Теоремы:

• Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

• В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180˚.

• Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.