Диофантовы уравнения. Поиск решений. Задачи олимпиад.

Диофант и история диофантовых уравнений.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.

1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , НОД , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , НОД  и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , НОД  и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х₀, у₀ – целое решение уравнения ,  - любое целое число.

Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b, 

если  и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если  и , то

1. Разделить почленно уравнение  на , получив при этом уравнение , в котором .

2. Найти целое решение (х₀, у₀) уравнения  путем представления 1 как линейной комбинации чисел  и ;

3. Составить общую формулу целых решений данного уравнения 

где х₀, у₀ – целое решение уравнения ,  - любое целое число.

Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Метод разложения на множители.

2. Выделение полного квадрата.

3. Выделение целой части и оценка дроби

4. Решение уравнения с двумя переменными как квадратное относительно одной из переменных и др.

Задачи по теме:

1. Решим в качестве примера диофантово уравнение: 13x+41y=8

2. Решить уравнение в целых числах:

3. Найти все целочисленные решения уравнения:

4. Решить уравнение в целых числах:

5. Найти все натуральные решения уравнения

6. Решить в целых числах уравнение

7. Решить в целых числах уравнение:

8. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько может быть в клетке тех и других?

9. Решить в целых числах уравнение:

1. Решить в целых числах:

1. Решить в целых числах уравнение:

2. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

3. Решить в целых числах уравнение .

4. Решить уравнение в целых числах: х²+ху=10

5. Решить уравнение в целых числах y³ - x³= 91.

6. Решить уравнение в целых числах: 2х²-2ху +9х+у=2

7. Решить в натуральных числах уравнение: , где тп.

8. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

9. Найдите все пары (х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

10.