Разрезания. Замощения. Раскраски.

Задачи по теме «Разрезания. Замощения. Раскраски.»

1. У Кая есть ледяная пластинка в форме "уголка" (см. рисунок). Снежная Королева потребовала от Кая разрезать ее на четыре равные части. Как ему это сделать? 

1. Разрежьте фигуру (см. рисунок) на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

1. Можно ли сложить какой-нибудь квадрат из трёхклеточных уголков (см. рис.)?

1. Разрежьте квадрат 6×6 клеточек на трёхклеточные уголки (см. рис.) так, чтобы никакие два уголка не образовывали прямоугольник 2×3.

1. (на перерыв)Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета. 
   б) Можно ли обойтись тремя цветами?

1. Из прозрачной пленки вырезаны три квадрата с узорами, нарисованными на них черной краской (см. рисунок). 

Нарисуйте узор, который получится при наложении этих трех квадратов друг на друга. (Поворачивать квадраты нельзя).

1. Можно ли разрезать квадрат 5×5 на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3 так, чтобы получилось 7 прямоугольников?

2. У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22×15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5. Как это сделать?

3. Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?

1. Маша посмотрела на рисунок и сказала: "Здесь нарисовано семь прямоугольников: один большой и шесть маленьких". "Здесь есть еще различные средние прямоугольники" – сказала мама. Сколько же всего прямоугольников на этом рисунке? Ответ объясните. 
    

2. Из шахматной доски вырезали две клетки  — a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски (см. рисунок) покрыть 31-й косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

1. На каждой из клеток размером 5*5 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

1. Квадрат 8×8 распилили на квадраты 2×2 и прямоугольники 1×4. При этом общая длина распилов оказалась равна 54. 
   Сколько фигурок каждого вида получилось?

1. Можно ли доску 6*6 разрезать на фигурки из четырех клеток в форме буквы Г? 

2. Можно ли доску 6*6 разрезать на фигурки из четырех клеток в форме буквы Т? 

3. Можно ли разрезать квадрат 66 на полоски 14 ?

4. В одном конце клетчатой полоски 1*2014 стоит 3 шашки. За один ход можно переместить любую шашку в клетку, симметричную уже занятой клетке (можно ходить через шашку). Можно ли таким образом добиться того, что все шашки переместятся в другой конец полоски?

1. Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером 31. Какую клетку изначально вырезали из квадрата? (Московские регаты)

2. Из шахматной доски (размером 8×8) вырезали центральный квадрат размером 2×2. Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на равные фигурки в виде буквы "Г", состоящие из четырёх клеток?

1. В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные– синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

1. На клетчатой доске размером 4×4 Петя закрашивает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки не пересекающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток. Какое наименьшее количество клеток должен закрасить Петя, чтобы Вася не выиграл?

1