Инвариант. Свойства инварианта.
Увидеть в задаче величину, которая не изменяется по ходу всей задачи непросто, но именно она порой помогает легко и быстро отыскать запутанное на первый взгляд решение. Этому мы и посвятим наше занятие!
Задания по теме для самостоятельного решения
Задание 1
(2 балла)На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, что бананов и ананасов росло вначале по 20? В ответ запишите банан или ананас с маленькой буквы.
Задание 2
(3 балла)На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b - 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Задание 3
(4 балла)Имеется квадратная таблица 10х10, в клетки которой в последовательном порядке вписаны натуральные числа от 1 до 100: в первую строку - числа от 1 до 10, во вторую - от 11 до 20 и т. д. Докажите, что сумма S любых 10 чисел таблицы, из которых никакие два не стоят в одной строке и никакие два не стоят в одном столбце, постоянна. Найдите эту сумму.