Геометрия треугольника и четырехугольника. Задачи олимпиад.
На этом занятии мы поговорим об интересных точках в треугольнике, о свойствах некоторых прямых, которые позволяют нам решать с виду запутанные задачи. Рассмотрим соотношения в прямоугольном треугольнике, а также четырехугольник и его свойства. Порешаем интересные задачи с использованием площади.
Конспект занятия "Геометрия треугольника и четырехугольника. Задачи олимпиад."
Треугольник
Треугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная.
В дальнейшем используются следующие обозначения:
a ,b, c - длины сторон DC, AC, AB треугольника ABC соответственно;
— полупериметр треугольника ABC;
Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: a + b c, b +c a, a + c b
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: 
, 
.
Пусть c — наибольшая из трех сторон треугольника, тогда: если c² a² + b² , то треугольник остроугольный; если, c² = a² +b², то треугольник прямоугольный; если c² a² +b² , то треугольник тупоугольный.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 
: 
.
Следствие: В треугольнике не может быть более одного тупого или прямого угла.
|
|
|
|
Формулы для вычисления площади треугольника
Площадь треугольника равна: 
.
Площадь треугольника равна: 
.
Формула Герона: 
.
Площадь треугольника равна: 
.
Площадь треугольника равна: 
.
Если в треугольнике одну из сторон изменить в 
раз, а другую в 
раз, оставив без изменения угол между ними, то площадь получившегося треугольника изменится в 
раз.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.
Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства.
Задания по теме для самостоятельного решения
Задание 1
(2 балла)Какую часть площади, считая от вершины, отсекает средняя линия треугольника? Ответ запишите десятичной дробью с запятой.
Задание 2
(2 балла)Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат. Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м2?
Задание 3
(3 балла)Точка M делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2 : 5. В каком отношении отрезок CM делит площадь треугольника ABC? Ответ запишите в виде а:b, где а<b.