Десятичная система счисления.

Десятичная система счисления.

Сегодня на занятии мы поговорим о числах и их свойствах, различных системах счисления и особенностях десятичной системы счисления. Напомним основные особенности записи чисел: двузначное число состоит из а десятков и b единиц ab = 10a + b, трехзначное авс = 100а + 10в + с.

1. Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

2. Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

3. Напишите в строчку первые 10 простых чисел. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число?

4. Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек? А наоборот?

5. Найдите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.

6. Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.

7. Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

8. Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.

9. Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

10. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

11. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4,

  а) если каждая цифра может встречаться только один раз?

  б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?

1. Трехзначное число начинается с цифры 4. Если эту цифру перенести в конец числа, то получится число, составляющее 0,75 исходного. Найти исходное число.

2. Напишите в строчку первые 10 простых чисел. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число?

3. Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

4. Найдите наибольшее число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр. 

5. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли минимальное 5-значное число, которое состоит из различных чётных цифр. Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся. Однако оказалось, что разность между Колькиным числом и правильным ответом меньше 100. Какие числа составили Поликарп и Колька? 

6. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли максимальное пятизначное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся – он не заметил в условии слово "различных" и очень радовался, что его число оказалось больше, чем число Поликарпа. Какие числа составили Поликарп и Колька?

7. Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123...10111213...499500. Двоечник Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

8. За один ход разрешается или удваивать число, или стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить из числа 458 число 14?

9. В 100-значном числе 12345678901234...7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычёркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

10. Я купил лотерейный билет, у которого сумма цифр его пятизначного номера оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, если известно, что мой сосед без труда решил эту задачу.

11. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

12. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

13. Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

14. Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте? 

15. Найдите наименьшее натуральное число, третья степень которого делится на 588.

16. Из книги выпала часть. Первая из выпавших страниц имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

17. Натуральное число n записано в десятичной системе счисления. Известно, что если какая-то цифра входит в эту запись, то n делится нацело на эту цифру (0 в записи не встречается). Какое максимальное число различных цифр может содержать эта запись?

18. Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти все такие числа.

19. Назовем натуральное число "замечательным", если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи первого замечательного числа?

20. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

21. Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа: a, b, c. Иван Царевич должен назвать ему три числа: X, Y, Z, после чего Кащей сообщает ему сумму aX + bY + cZ. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?