Задача 18 (С5). Уравнения с параметрами.

Файл к уроку 21

Решение уравнений с параметрами.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2-3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Простейшие задачи с параметрами.

Пример 1. При каком наибольшем отрицательном значении параметра а функция

имеет максимум в точке ?

Пример 2. При всех а решите неравенство: .

Пример 3. При всех а решите неравенство: .

Пример 4. При всех а решите неравенство:

Линейные уравнения с параметрами.

Уравнение вида

где a, b из R, x - переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Уравнение равносильно уравнению

ax = – b

откуда следует следующее утверждение.

1. Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x = – ^b/_a;

2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения пусто;

3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения.

Решить уравнение с параметром – значит указать решение при всех значениях параметра.

Пример 5. Решить уравнение: a²x – 1 = x + a.

Пример 6. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:

Пример 7. При каких значениях параметра а неравенство имеет решением все действительные числа:

Системы линейных уравнений с параметрами.

– Система имеет единственное решение.

– Система имеет бесконечное множество решений.

– Система не имеет решений.

Пример 8. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Пример 9. Определить, при каких значениях параметра a уравнения x + ay =1

и ax + y = 2a имеют хотя бы одно общее решение.

Квадратичные уравнения с параметрами.

Уравнения второй степени с параметрами зависят от дискриминанта и направления ветвей параболы, задаваемой квадратным трехчленом.

Квадратное уравнение может не иметь решений (Da=0 или D=0), два решения (D0) или бесконечное множество решений (когда при каком-то значении параметра получаем 0=0).

Пример 10. Решить уравнение в зависимости от параметра а:

Пример 11. При каких значениях корни уравнения положительны?

Пример 12. Найти значения параметра а, при которых среди корней уравнения имеется ровно один отрицательный:

Пример 13. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

Пример 14. При каких значениях m корни уравнения 4x² – (3m + 1) x – m – 2 = 0 лежат в промежутке между –1 и 2?

Пример 15: Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x² + (a + 1) x + 3 = 0 лежал в интервале (–1; 3)

Пример 16. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных отрицательных корня:

Пример 17. При каких целых а неравенство верно для любого значения х:

Пример 18. Найти все значения а, при каждом из которых система имеет ровно два различных решения:

Пример 19. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не имеет решений.